Ordnungszahlen in LLL, dem konstruierbaren Universum

Ich versuche, das konstruierbare Universum zu verstehen L . Aufgrund der Art und Weise, wie es aufgebaut ist, ist klar, dass jede Ordnungszahl darin enthalten ist L , dh, a ⊂ L für jede Ordnungszahl a . Allerdings ist mir nicht klar ob a ∈ L oder nicht für eine beliebige Ordnungszahl a . In Jechs Buch Set Theory sagt der Autor: „ L ist ein inneres Modell von ZF und enthält alle Ordnungszahlen ..." (dies sind nicht seine genauen Worte, aber dieselbe Idee). Bedeutet das Wort enthalten im vorherigen Satz umfassen oder für eine Ordnungszahl a wir haben a ∈ L ?

Jede Hilfe wird sehr geschätzt. Danke!

Vielleicht bin ich hier verwirrt, aber wenn L enthält a + 1 = a ∪ { a } als Teilmenge, bedeutet das nicht, dass es enthält a als Element?
Ja, aber nicht alle Ordnungszahlen β kann im Formular ausgedrückt werden β = a + 1 für eine andere Ordnungszahl a , Rechts?
Damit dieser "Trick" funktioniert, brauchen Sie nicht a Um eine Nachfolge-Ordnungszahl zu sein, müssen Sie nur eine Nachfolge-Ordnungszahl haben, was alle Ordnungszahlen tun.
Aber Sie wollen die andere Richtung, dass jede Ordnungszahl einen Nachfolger hat, was wahr ist. Der Punkt, den @ElchananSolomon macht (und den ich auch in meiner Antwort unten mache), ist, dass sobald L hat a + 1 als Teilmenge hat es dann a als Element.
Wenn Sie das für alle Ordnungszahlen gezeigt haben a , wir haben a ⊆ L , dann notieren Sie das einfach für jede Ordnungszahl a , wir haben S ( a ) ⊆ L und somit a ∈ L .
Ja, mir ist gerade klar, dass es ein Fehler war.
" L enthält alle Ordinalzahlen" bedeutet " Ö N ⊂ L ".

Antworten (1)

Ja, L enthält alle Ordnungszahlen als Elemente. Tatsächlich folgt dies aus dem, was Sie bereits wissen (dass L enthält alle Ordnungszahlen als Teilmengen): da kleinere Ordnungszahlen Elemente größerer Ordnungszahlen sind, für jede Klasse X und ordinal a wir haben das wenn a + 1 ⊆ X Dann a ∈ X . Die „Mehrdeutigkeit“ um den Begriff der Eindämmung hier ist es also nicht.

Etwas expliziter kann man das durch transfinite Induktion zeigen a ∈ L a + 1 ∖ L a für jede Ordnungszahl a . Das sagt uns also genau, wann jede Ordnungszahl erscheint L . Beachten Sie, dass dies genau dem Verhalten des entspricht v -Hierarchie: im Allgemeinen L a ist immer "so groß wie" v a aber meist viel "schmaler" (auch wenn v = L - beachten Sie, dass L a ist immer zählbar a ist abzählbar, während v ω + 1 hat bereits ein Größenkontinuum).

Bedeutet dies, dass es keinen Sinn macht, darüber nachzudenken L [ 2 ω ] gegeben das 2 ω ∈ L ?
@BobVance Zunächst einmal ist es nicht nachweisbar Z F C allein das 2 ω ∈ L . Allerdings werden wir das immer haben L [ 2 ω ] ist "trivial" (also einfach L selbst), da es ein Element von ist 2 ω (= eine Teilmenge von sein ω ) ist über definierbar L bereits. L [ A ] unterscheidet sich von L Wenn " A -ness", sogar von Dingen in L , ist schwer zu erkennen (= nicht definierbar in L ). Also selbst wenn 2 ω ∉ L wir haben L [ 2 ω ] = L . Beachten Sie, dass es einen Unterschied zwischen gibt L [ A ] Und L ( A ) - insbesondere wenn 2 ω ∉ L Dann L ( 2 ω ) ≠ L .
Für ein extrem (sehr wichtiges) Beispiel dafür, Z F C beweist: "Wenn es ziemlich große große Kardinäle gibt (ich halte das der Einfachheit halber vage), dann gilt das Axiom der Bestimmtheit L ( 2 ω ) , Aber A D scheitert bedingungslos L = L [ 2 ω ] ."
Ich bin verwirrt. In meinem Kopf (und höchstwahrscheinlich liege ich falsch) 2 ω ∈ L [ 2 ω ] aber das hast du gerade gesagt L [ 2 ω ] = L .
@BobVance Das stimmt im Allgemeinen nicht A ∈ L [ A ] (im Gegensatz, A ∈ L ( A ) stimmt immer). Insbesondere, 2 ω ∉ L [ 2 ω ] falls es eine nichtkonstruierbare reelle Zahl gibt (= falls 2 ω ist nicht dabei L bereits).
Aber falls A eine Ordinalzahl ist, das haben wir A ∈ L [ A ] , Rechts?
@BobVance Wenn A ist dann eine Ordnungszahl A ∈ L schon so natürlich A ∈ L [ A ] . Wenn A ist eine Menge von Ordnungszahlen oder allgemeiner eine Teilmenge davon L , Dann A ∈ L [ A ] selbst wenn L ≠ L [ A ] . (Mittlerweile wenn A ist eine Unterklasse von L Dann A ∩ v a ∈ L [ A ] für jede Ordnungszahl a .) Aber 2 ω ist eine Menge von Ordinalzahlen, und an diesem Punkt sind die Dinge nicht so schön.
Ordnungszahlen in LLL, dem konstruierbaren Universum
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v