Gibt es einen wesentlichen Unterschied zwischen dem Prinzip der transfiniten Induktion und dem Prinzip der transfiniten Induktion für Ordnungszahlen?

In einer kürzlich gestellten Frage wurde ich gebeten, das Prinzip der transfiniten Induktion für Ordinalzahlen zu beweisen, aber ich habe fälschlicherweise das Prinzip der transfiniten Induktion bewiesen, da ich sie nur vage verstehe. Ich habe mich nur gefragt, ob es einen wesentlichen Unterschied zwischen den beiden gibt oder wäre ein Nachweis des letzteren akzeptabel, um alle Noten zu erhalten. Vielen Dank für jede Hilfe.

Prinzip der transfiniten Induktion: ∀ X < z ( ∀ j < X [ Φ ( j ) → Φ ( X ) ] → ∀ X < z Φ ( X ) )

Prinzip der transiniten Induktion für Ordnungszahlen; C ≠ ϕ , a , β ∈ C ∀ a ∃ β [ a ≤ β ]

Transfinite Induktion: Induktion für jede wohlgeordnete Menge. dh Kardinäle ... Das ist, was ich sagen würde?
Die Prämisse Ihrer Frage ist, dass die Namen verwirrend sind - Sie sollten also nicht erwarten, dass ein Leser genau weiß, was Sie mit "dem Prinzip der transfiniten Induktion" meinen. Bitte teilen Sie uns die tatsächliche Aussage mit, die Sie bewiesen haben, und nicht nur den Namen, den Sie für diese Aussage verwenden. Wenn möglich, tun Sie dies bitte auch für die Aussage, von der Sie jetzt glauben, dass Sie sie stattdessen hätte beweisen sollen.
@menag "jeder gut geordnete Satz, dh Kardinäle" - ähm, nein: Ordnungszahlen.
@BrianO Was? Ich verstehe Sie nicht.
Ich habe es bearbeitet, um beide Definitionen aufzunehmen, hoffe, das hilft
@menag Das liegt daran, dass Sie Ordnungszahlen und Kardinalzahlen nicht verstehen.
Glauben die Leute, dass sie mehr oder weniger gleichwertig sind und dass ein Beweis des ersten ausreichen würde?
Keines der Dinge, die Sie geschrieben haben, scheint für sich genommen viel Sinn zu machen. Das zweite scheint überhaupt keinen Sinn zu machen. Sie sollten es auf jeden Fall explizit schreiben, ohne zu viel formale Notation zu verwenden, aber insbesondere , wenn Sie es nicht sehr gut verwenden können.
Ich sehe nicht wirklich, was mit dem ersten falsch ist, ist nicht Φ ( . ) Standardnotation für eine gut definierte Eigenschaft und für die zweite sollte ich das vielleicht spezifizieren a , β waren Ordnungszahlen, aber ansonsten ist es ziemlich einfach zu verstehen.
@Stefan Perko Habe nie was anderes gesagt.
@BrianO Woher genau weißt du, dass ich sie nicht verstehe? Kardinäle sind - als Teil der Ordnungszahlen - ebenfalls wohlgeordnet. Nun war meine Vermutung, dass die transfinite Induktion das Prinzip für allgemeine Brunnenordnungen sein könnte, während die transfinite Induktion für Ordnungszahlen den Spezialfall der Ordnungszahlen bedeutet.
Ok, danke, das war es, wonach ich gesucht habe, aber glauben Sie, dass Anerkennung gegeben wird, wenn ich stattdessen den allgemeinen Fall bewiesen habe.
@Menag: Ich verstehe nichts von dem, was sie geschrieben haben. Insbesondere scheint der Punkt von all dem der "Grenzfall" in en.wikipedia.org/wiki/Transfinite_induction zu sein , wahrscheinlich der einzige Punkt, der es verdient, diskutiert zu werden (und wahrscheinlich die Unterscheidung Ordnungszahlen / Kardinäle rechtfertigt).

Antworten (1)

@ user200632 Ihr transfinites Induktionsprinzip ist falsch angegeben. Es sollte sein:

∀ X ∈ D Ö M ( Φ ) ) ( [ ( ∀ j < X ) Φ ( j ) → Φ ( X ) ] ) → ( ∀ X ∈ D Ö M ( Φ ) ) Φ ( X )
für Ordnung Φ (eigentlich für begründet Φ ).

Ihr TI für Ordnungszahlen ist durcheinander: Zuerst haben Sie a , β ∈ C , dann quantifizierst du sie. Meinst du ( ∀ a ∈ C ) ( ∃ β ∈ C ) a ≤ β ? Das ist trivialerweise wahr (nimm β = a ) sogar für C = ∅ , und Sie sollten überhaupt keine Punkte dafür bekommen :) Es sollte sein:

( ∅ ≠ C ⊆ Ö R D ) ( ∃ a ∈ C ) ( ∀ β ∈ C ) a ≤ β

Gibt es einen wesentlichen Unterschied zwischen dem Prinzip der transfiniten Induktion und dem Prinzip der transfiniten Induktion für Ordnungszahlen?
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