Ist LL\mathbb{L} buchstäblich das kleinste Modell von ZF(C)ZF(C)\sf ZF(C) ? (In NBGNBG\sf NBG)

Das habe ich irgendwo gelesen$\mathbb{L}$war "das kleinste transitive Modell von$\sf ZFC$das alle Ordinalzahlen enthält" (Gödels konstruierbares Universum)

Ich habe mich gefragt, ob: 1. dies wahr ist und 2. dies in präzisiert werden könnte$\sf NBG$(Mengentheorie von Neumann-Bernays-Gödel)

Meine erste Frage ist also: Stimmt das?

Dann zu Punkt 2., ich dachte das: in$\sf NBG$Sie können über richtige Klassen sprechen, und wenn ein transitives Modell von$\sf ZFC$alle Ordinalzahlen enthält, muss es eine richtige Klasse sein. Also um das sagen zu können$\mathbb{L}$die kleinste solche ist, wäre eine Möglichkeit, die Tatsache zu verwenden, dass$\sf NBG$können über richtige Klassen sprechen und ihre "Größe" (in Bezug auf die Einbeziehung) vergleichen.

In NBG kann man eine Menge von Variablen, Symbolen usw. definieren, um am Ende eine Menge zu erhalten, die wir bezeichnen können$\mathcal{ZFC}$das ist eine Menge von Sätzen erster Ordnung, die darstellen$\sf ZFC$. Dann kann man den Begriff wohl definieren$C\models \phi$für$C$eine Klasse u$\phi$ein Satz erster Ordnung (geschrieben "innen"$\sf NBG$), die nur logische Symbole verwendet,$\simeq$Und$\epsilon$(bezeichnet$=$Und$\in$). Ich habe mich hier nicht mit den Details aufgehalten, aber ich gehe davon aus, dass es auf die gleiche Weise wie gemacht werden kann$\models$wird üblicherweise in der Modelltheorie definiert.

Wenn man das getan hat, kann man es definieren$C\models \mathcal{ZFC}$für$C$eine Klasse, und auch "$C$ist transitiv" und "$C$enthält alle Ordnungszahlen" kann definiert werden.

Also rein$\sf NBG$Meine Frage kann umgeschrieben werden als: Stimmt das?$\forall C, C\models \mathcal{ZFC}\land C$ist transitiv$\land \, C$enthält alle Ordinalzahlen$\implies \mathbb{L}\subset C$? (Ich kürze die Bedingungen ab$C$von$Mod(C)$)

Denn anders kann man definieren$\mathbb{S} = \{x\mid \forall C, Mod(C)\implies x\in C\}$, und dann wäre ich nicht überrascht, wenn wir es getan hätten$Mod(\mathbb{S})$(Ich habe die Details nicht überprüft, aber es erscheint vernünftig) und so$\mathbb{S}$wäre das kleinste transitive Modell von$\sf ZFC$enthält alle Ordinalzahlen.

Meine zweite Frage ist also: Würde diese letzte Konstruktion funktionieren, und wenn ja, hätte man sie$\mathbb{L}=\mathbb{S}$? Wurde dies zuvor als alternative Definitionsmethode durchgeführt$\mathbb{L}$? Wenn die Antwort darauf ja lautet, würde ich ersetzen$\sf ZFC$von$\sf ZF$funktionieren und wenn ja, könnte man das direkt beweisen (ohne explizit eine Konstruktion von anzugeben$\mathbb{L}$) Das$\mathbb{L}\models AC$?