Kann es ein abzählbares transitives Modell geben, das dieselbe MKMKMK-Theorie wie VVV erfüllt?

Question

Kann es ein abzählbares transitives Modell geben, das dieselbe MKMKMK-Theorie wie VVV erfüllt?

Mengenlehre
Mathematik
Modelltheorie

Neil Barton

Vor einiger Zeit habe ich gefragt, ob es ein abzählbares transitives Modell geben könnte, das dasselbe erfüllt $ZFC$ Theorie als $V$ (vorausgesetzt, wir arbeiten in einigen $V$ , oder (wenn Sie wollen) dass es ein eindeutiges maximales Universum von Mengen gibt, das mit ` bezeichnet wird $V$ '). Die Antwort war eindeutig ja , tatsächlich wird eine solche Theorie von Feferman gegeben. Was wir tun können, ist ein konstantes Symbol hinzuzufügen $M$ zur Sprache von $ZFC$ , und fügen Sie dann die folgenden Axiome hinzu:

(1) $M$ ist abzählbar und transitiv.

(2) (Axiomschema) Für alle $\phi$ in der Sprache der Mengenlehre (ohne $M$ ), $\phi \leftrightarrow \phi^M$ .

Dieses letztere Axiom muss ein Schema sein; wenn es mit einem einzigen Axiom getan würde, würden wir den Satz von Tarski verletzen. Die Erweiterungen sind jedoch ziemlich schwach – es stellt sich heraus, dass es sich um konservative Erweiterungen handelt $ZFC$ (nach dem Reflexionssatz). Einen ähnlichen Effekt kann man auch mit einem Wahrheitsprädikat erzielen: wir fügen ein Wahrheitsprädikat hinzu, fügen das von Tarski hinzu $T$ -Axiome, und dann mit Reflexion in der erweiterten Sprache erhalten a $V_\alpha$ die wir dann skolemisieren und zusammenbrechen, um ein abzählbares transitives Modell zu erhalten, das eine elementare Unterstruktur davon ist $V$ .

Meine Frage: Gehen Sie zu dem Fall über, in dem wir überlegen $MK$ Klassentheorie vorbei $V$ , eine zweisortierte Mengen- und Klassentheorie erster Ordnung mit einem imprädikativen Klassenverständnisschema. Angenommen, wir haben eine "philosophisch akzeptable" Interpretation der Variablen, die wir geben können $MK$ seine "vollständige" Semantik (oder einfach nur in einer $(V_\kappa, \in, V_\kappa +1)$ mit $\kappa$ unzugänglich, wenn Sie grundlegendes Übelkeit haben). Können wir den gleichen Trick ziehen? dh Ist das Axiomensystem:

(1) $M$ ist abzählbar und transitiv.

(2) (Axiomschema) Für alle $\phi$ in der Sprache von $MK$ (ohne $M$ ), $\phi \leftrightarrow \phi^M$ .

Meine Sorge: Beharren auf der vollständigen Semantik für $MK$ stellt sicher, dass es unzählige Sätze gibt, die von erfüllt werden $V$ , und so können Sie kein solches abzählbares transitives Modell haben; auf jeden $(M, \in, C) \models MK$ , $C$ ist immer zählbar.

In ähnlicher Weise scheint die Taktik der Wahrheitsprädikate zwielichtig; ein solches Prädikat wird dritter Ordnung sein, nicht nur zweiter Ordnung.

Allerdings denke ich daran, dass ich hier schnell und locker spiele--- $MK$ ist immer noch nur eine zählbare Gartensprache erster Ordnung, also frage ich mich, ob es ein zählbares transitives Modell geben kann, das eine elementare Unterstruktur davon ist $V$ was angeht $MK$ .

[BEARBEITEN: Ich sollte mehr darüber sagen, woran ich interessiert bin. Dies unterteilt die Frage ein wenig:

Kann es so etwas geben $(M, \in , C)$ Wenn $C$ ist zählbar.
Kann es eine elementare Unterstruktur von geben $V$ (entweder zählbar oder unzählbar) $(M, \in, C)$ .

Hinterhältiges Ziel: Ich versuche herauszufinden, ob es einen relevanten Unterschied (entweder in mengenmäßigen oder zählbaren Strukturen) zwischen einem elementaren Untermodell von gibt $V$ relativ zu $ZFC$ vs relativ zu $MK$ .]

Eric Wofsey

In welchem Sinne gibt es „unzählig viele Sätze, die zufrieden sind mit

V

$V$ "? Wenn Sie keine Parameter zulassen, gibt es nur abzählbar viele Sätze Punkt.

Benutzer104955

Machen Sie Klassenquantifizierer beschränkt auf

M

$M$ Bereich über alle Teilmengen von

M

$M$ ? Wenn ja, dann ist die Antwort „nein“. Jede transitive Menge, die MK erfüllt, ist ein unzugänglicher Rang. Im Allgemeinen jedes Modell

M

$M$ das Befriedigen von MK hat als seinen transitiven Kollaps einen unzugänglichen Rang.

Neil Barton

@ Eric Wofsey. Exakt. Ich glaube, ich schmuggle Parameter in meinem Kopf ein, wenn ich den Begriff „volle Semantik“ verwende. In diesem Sinne unterscheidet es sich jedoch nicht wesentlich von

Z F C

$ZFC$ , es gibt unzählige Sätze von

Z F C

$ZFC$ zufrieden durch

V

$V$ wenn du Parameter reinlässt.

Neil Barton

@GME, ich denke, die Antwort muss no' (such a model would not then be im strengen Sinne zählbar sein, auch wenn (per unmöglich) die Domäne der Quantifizierer erster Ordnung zählbar war). Ich werde meine Frage mit ein paar Klarstellungen aktualisieren, danke.

Benutzer104955

OK. Und wollen Sie Parameter aus

M

$M$ im Schema? Wenn ja, sowohl Klassen- als auch Set-Parameter?

Neil Barton

Gute Frage. Der wahre Grund, warum ich das tun möchte, ist, dass ich ein Argument habe, dass eine bestimmte Struktur von einer einzelnen Klasse codiert werden kann

M K

$MK$ . Ich möchte die Theorie auf das Zählbare reduzieren, also kann ich das tun, indem ich einfach ein Prädikat für diese Klasse hineinstecke

Z F C

$ZFC$ und Verfahren a la Feferman. Aber ich frage mich, ob das alles überflüssig ist, da man es einfach machen könnte

M K

$MK$ gerade nach oben. Ich denke, die Antwort auf Ihre Frage hängt davon ab, ob meine Haustierklasse (die ich hier leider nicht definieren kann - es ist ein bisschen schwierig) einen Parameter benötigt oder nicht.

Eric Wofsey

Wenn nach "Modell von

M K

$MK$ " Sie meinen den üblichen Begriff erster Ordnung (Sie benötigen also keine spezielle Semantik für die Klassen von

M

$M$ ), dann buchstäblich alles, worüber Sie gesagt haben

Z F C

$ZFC$ gilt genauso für

M K

$MK$ . Da geht gar nichts schief. Die Tatsache, dass Ihr Umgebungsmodell

V

$V$ zufällig eine Art vollständige Semantik hat, hat nichts mit dem Argument zu tun.

Benutzer104955

Was Erich gesagt hat. Wenn Sie Parameter verbieten (wie Sie sollten), ist es ein einfacher LS, ein solches Modell für Sie zu erhalten

V_{κ + 1}

$V_{\kappa+1}$ gefolgt von einem transitiven Kollaps. Dadurch erhalten Sie ein zählbares, transitives Modell, das elementar äquivalent ist

V_{κ + 1}

$V_{\kappa+1}$ .

Viktoria Gitman

@GME Sie sagen also, dass es mit einem Unzugänglichen vereinbar ist, dass es ein Modell von KM mit einem zählbaren transitiven Modell von KM gibt, das dieselbe Theorie erfüllt (indem es eine elementare Unterstruktur von nimmt

(V_{κ + 1}, \in))

$(V_{\kappa+1},\in))$ . Es scheint unklar, wie es ohne ein unzugängliches geht.

Benutzer104955

@VictoriaGitman Richtig. Es ist etwas schwieriger, dies in der Theorie MK zu tun, anstatt in einem Standardmodell. Ich könnte mir vorstellen, dass es davon abhängt, ob wir ein geeignetes Wahlprinzip für den Unterricht haben. Wenn dies der Fall ist, könnten wir für eine endliche Menge von Formeln eine LS-Konstruktion durchführen, während wir Klassenzeugen auswählen und sie dann am Ende auf die Größe reduzieren, bevor wir den transitiven Kollaps nehmen. Klingt das richtig?

Viktoria Gitman

Ich habe versucht, dies mit einem starken Auswahlprinzip für Klassen zu tun, bei dem Sie eine beliebige endliche Anzahl von Formeln zweiter Ordnung bis zu einer codierten Sammlung von Klassen (einer Sammlung

S

$\mathcal S$ der Klassen wird codiert, wenn es eine Klasse gibt

S = ⟨ S_{ξ} ∣ ξ < O R D ⟩

$S=\langle S_\xi\mid \xi<ORD\rangle$ so dass die

S_{ξ}

$S_\xi$ sind genau die Mitglieder von

S

$\mathcal S$ ), aber ich sehe keine Möglichkeit, es auf ein Set zu reduzieren.

Benutzer104955

@VictoriaGitman Also dachte ich, dass wir eine bauen würden

ω

$\omega$ Reihenfolge der Klassen

X_{n}

$X_n$ welcher Code (i) eine Menge ist

x_{n}

$x_n$ und (ii) Klassen

Y_{i}

$Y_i$ durch eine Menge indiziert

I_{n}

$I_n$ . Dann, bei

X_{n + 1}

$X_{n+1}$ wir endliche Folge von Mengen und Klassen

y_{0}, . . ., y_{n}, Y_{i}, . . ., Y_{j}

$y_0,...,y_n,Y_i,...,Y_j$ codiert durch

X_{n}

$X_n$ und nimm die wenigsten

x

$x$ so dass

ϕ (x, y_{0}, . . ., y_{n}, Y_{i}, . . ., Y_{j})

$\phi(x, y_0,...,y_n,Y_i,...,Y_j)$ und stecke es ein

x_{n + 1}

$x_{n+1}$ , und wählen Sie die geringste aus

X

$X$ so dass

ϕ (X, y_{0}, . . ., y_{n}, Y_{i}, . . ., Y_{j})

$\phi(X, y_0,...,y_n,Y_i,...,Y_j)$ und lass

Y_{⟨ ϕ, y_{0}, . . ., y_{n}, i, . . ., j ⟩}

$Y_{\langle \phi, y_0,...,y_n,i,...,j \rangle}$ eincodiert werden

X_{n + 1}

$X_{n+1}$ . Dann

x_{n + 1}

$x_{n+1}$ Und

I_{n + 1}

$I_{n+1}$ sind Sätze und nicht größer als

| ω \cup x_{n} \cup I_{n} |

$|\omega \cup x_n\cup I_n|$ ....

Benutzer104955

@VictoriaGitman Endlich, lass

x_{ω} = ⋃_{n < ω} x_{n}

$x_\omega = \bigcup_{n<\omega} x_n$ Und

I_{ω} = ⋃_{n < ω} I_{n}

$I_\omega = \bigcup_{n<\omega} I_n$ . Dann, wenn wir mit angefangen haben

X_{0} = 0

$X_0 = 0$ ,

M = ⟨ x_{ω}, {Y_{i} \cap x_{ω} : i \in I_{ω}} ⟩

$M = \langle x_\omega, \{Y_i\cap x_\omega: i\in I_\omega\}\rangle$ wird zählbar sein, und so dass

M ⊨ ϕ (x, Y_{i} \cap x_{ω})

$M\vDash \phi(x, Y_i\cap x_\omega)$ iff

ϕ (x, Y_{i})

$\phi(x, Y_i)$ . Wir nehmen dann einfach

M

$M$ Der transitive Kollaps von .

Benutzer104955

(Für die letzte Behauptung müssen wir sicherstellen, dass MM zusätzlich zu unserem endlichen Satz von Formeln auch Extensionalität für Klassen widerspiegelt. Außerdem hätte ich "let

X = Y_{⟨ n + 1, ϕ, y_{0}, . . ., y_{n}, i, . . ., j ⟩}

$X = Y_{\langle n+1, \phi, y_0,...,y_n,i,...,j\rangle}$ eincodiert werden

X_{n + 1}

$X_{n+1}$ ".)

Viktoria Gitman

@GME Ja, das sieht richtig aus! Wir brauchen also nur die abhängige Auswahl für Klassen. Sie sollten die Antwort mit den Details aufschreiben.

Benutzer104955

@VictoriaGitman Danke, Victoria! Super beschäftigt im Mo (daher die Skizze), werde aber morgen bei Gelegenheit schreiben.

Antworten (1)

Kann es ein abzählbares transitives Modell geben, das dieselbe MKMKMK-Theorie wie VVV erfüllt?

In welchem Sinne gibt es „unzählig viele Sätze, die zufrieden sind mit $V$ "? Wenn Sie keine Parameter zulassen, gibt es nur abzählbar viele Sätze Punkt.
Machen Sie Klassenquantifizierer beschränkt auf $M$ Bereich über alle Teilmengen von $M$ ? Wenn ja, dann ist die Antwort „nein“. Jede transitive Menge, die MK erfüllt, ist ein unzugänglicher Rang. Im Allgemeinen jedes Modell $M$ das Befriedigen von MK hat als seinen transitiven Kollaps einen unzugänglichen Rang.
@ Eric Wofsey. Exakt. Ich glaube, ich schmuggle Parameter in meinem Kopf ein, wenn ich den Begriff „volle Semantik“ verwende. In diesem Sinne unterscheidet es sich jedoch nicht wesentlich von $ZFC$ , es gibt unzählige Sätze von $ZFC$ zufrieden durch $V$ wenn du Parameter reinlässt.
@GME, ich denke, die Antwort muss no' (such a model would not then be im strengen Sinne zählbar sein, auch wenn (per unmöglich) die Domäne der Quantifizierer erster Ordnung zählbar war). Ich werde meine Frage mit ein paar Klarstellungen aktualisieren, danke.
OK. Und wollen Sie Parameter aus $M$ im Schema? Wenn ja, sowohl Klassen- als auch Set-Parameter?
Gute Frage. Der wahre Grund, warum ich das tun möchte, ist, dass ich ein Argument habe, dass eine bestimmte Struktur von einer einzelnen Klasse codiert werden kann $MK$ . Ich möchte die Theorie auf das Zählbare reduzieren, also kann ich das tun, indem ich einfach ein Prädikat für diese Klasse hineinstecke $ZFC$ und Verfahren a la Feferman. Aber ich frage mich, ob das alles überflüssig ist, da man es einfach machen könnte $MK$ gerade nach oben. Ich denke, die Antwort auf Ihre Frage hängt davon ab, ob meine Haustierklasse (die ich hier leider nicht definieren kann - es ist ein bisschen schwierig) einen Parameter benötigt oder nicht.
Wenn nach "Modell von $MK$ " Sie meinen den üblichen Begriff erster Ordnung (Sie benötigen also keine spezielle Semantik für die Klassen von $M$ ), dann buchstäblich alles, worüber Sie gesagt haben $ZFC$ gilt genauso für $MK$ . Da geht gar nichts schief. Die Tatsache, dass Ihr Umgebungsmodell $V$ zufällig eine Art vollständige Semantik hat, hat nichts mit dem Argument zu tun.
Was Erich gesagt hat. Wenn Sie Parameter verbieten (wie Sie sollten), ist es ein einfacher LS, ein solches Modell für Sie zu erhalten $V_{\kappa+1}$ gefolgt von einem transitiven Kollaps. Dadurch erhalten Sie ein zählbares, transitives Modell, das elementar äquivalent ist $V_{\kappa+1}$ .
@GME Sie sagen also, dass es mit einem Unzugänglichen vereinbar ist, dass es ein Modell von KM mit einem zählbaren transitiven Modell von KM gibt, das dieselbe Theorie erfüllt (indem es eine elementare Unterstruktur von nimmt $(V_{\kappa+1},\in))$ . Es scheint unklar, wie es ohne ein unzugängliches geht.
@VictoriaGitman Richtig. Es ist etwas schwieriger, dies in der Theorie MK zu tun, anstatt in einem Standardmodell. Ich könnte mir vorstellen, dass es davon abhängt, ob wir ein geeignetes Wahlprinzip für den Unterricht haben. Wenn dies der Fall ist, könnten wir für eine endliche Menge von Formeln eine LS-Konstruktion durchführen, während wir Klassenzeugen auswählen und sie dann am Ende auf die Größe reduzieren, bevor wir den transitiven Kollaps nehmen. Klingt das richtig?
Ich habe versucht, dies mit einem starken Auswahlprinzip für Klassen zu tun, bei dem Sie eine beliebige endliche Anzahl von Formeln zweiter Ordnung bis zu einer codierten Sammlung von Klassen (einer Sammlung $\mathcal S$ der Klassen wird codiert, wenn es eine Klasse gibt $S=\langle S_\xi\mid \xi<ORD\rangle$ so dass die $S_\xi$ sind genau die Mitglieder von $\mathcal S$ ), aber ich sehe keine Möglichkeit, es auf ein Set zu reduzieren.
@VictoriaGitman Also dachte ich, dass wir eine bauen würden $\omega$ Reihenfolge der Klassen $X_n$ welcher Code (i) eine Menge ist $x_n$ und (ii) Klassen $Y_i$ durch eine Menge indiziert $I_n$ . Dann, bei $X_{n+1}$ wir endliche Folge von Mengen und Klassen $y_0,...,y_n,Y_i,...,Y_j$ codiert durch $X_n$ und nimm die wenigsten $x$ so dass $\phi(x, y_0,...,y_n,Y_i,...,Y_j)$ und stecke es ein $x_{n+1}$ , und wählen Sie die geringste aus $X$ so dass $\phi(X, y_0,...,y_n,Y_i,...,Y_j)$ und lass $Y_{\langle \phi, y_0,...,y_n,i,...,j \rangle}$ eincodiert werden $X_{n+1}$ . Dann $x_{n+1}$ Und $I_{n+1}$ sind Sätze und nicht größer als $|\omega \cup x_n\cup I_n|$ ....
@VictoriaGitman Endlich, lass $x_\omega = \bigcup_{n<\omega} x_n$ Und $I_\omega = \bigcup_{n<\omega} I_n$ . Dann, wenn wir mit angefangen haben $X_0 = 0$ , $M = \langle x_\omega, \{Y_i\cap x_\omega: i\in I_\omega\}\rangle$ wird zählbar sein, und so dass $M\vDash \phi(x, Y_i\cap x_\omega)$ iff $\phi(x, Y_i)$ . Wir nehmen dann einfach $M$ Der transitive Kollaps von .
(Für die letzte Behauptung müssen wir sicherstellen, dass MM zusätzlich zu unserem endlichen Satz von Formeln auch Extensionalität für Klassen widerspiegelt. Außerdem hätte ich "let $X = Y_{\langle n+1, \phi, y_0,...,y_n,i,...,j\rangle}$ eincodiert werden $X_{n+1}$ ".)
@GME Ja, das sieht richtig aus! Wir brauchen also nur die abhängige Auswahl für Klassen. Sie sollten die Antwort mit den Details aufschreiben.
@VictoriaGitman Danke, Victoria! Super beschäftigt im Mo (daher die Skizze), werde aber morgen bei Gelegenheit schreiben.

Benutzer104955 · Answer 1

Im Anschluss an meine Skizze in den Kommentaren ist hier ein Beweis dafür, dass die Axiome (1) und (2) (wobei $\phi$ hat keine Parameter) sind konservativ gegenüber $MK$ plus das Auswahlschema:

(CC) $\forall x\exists X\phi(x, X) \to \exists Y\forall x\phi(x, Y_x)$

Wo $Y_x = \{y:\langle x, y\rangle\in Y\}$ , und das $\omega$ -abhängiges Auswahlschema:

(Gleichstrom) $\forall X\exists Y\phi(X, Y) \to \exists Z\forall n\in\omega\phi(Z_n, Z_{n+1})$

Sehen Sie sich die Folien von Victoria Gitman hier für weitere Details an.

Die Idee ist, für jede endliche Sammlung einen Zeugen für (1) und (2) zu konstruieren $\phi_0,...,\phi_n$ von Formeln. Im Folgenden gehe ich davon aus, dass diese Formeln unter Teilformeln abgeschlossen sind und enthalten $\exists x(x = y)$ , $\exists X(X = Y)$ , $\exists x(x\in X \wedge x\not\in Y)$ .

Lassen $\mbox{dom}(X) = \{x: \exists y\langle x, y\rangle\in X\}$ Und $\mbox{rng}(X) = \{y: \exists x\langle x, y\rangle\in X\}$ , und lass $X^1 = \mbox{dom}(X)$ Und $X^2 = \mbox{dom(rng}(X))$ . Sag das $X$ ist ein abzählbares Modell, wenn $X^1$ Und $X^2$ sind zählbar. Mit anderen Worten, $X$ kodiert einen abzählbaren Mengenbereich $X^1$ und eine abzählbare Klassendomäne $\{\mbox{rng}(X)_y: y\in X^2\}$ .

Nun, nehme an $X$ ist ein abzählbares Modell. Bei CC gibt es a $Y^{\exists x/X\phi_i}$ so dass wann immer $\vec{x}\in X^1$ , $\vec{y}\in X^2$ , Und $\exists x/X\phi_i(x/X,\vec{x},\vec{\mbox{rng}(X)_y})$ , Dann:

$\phi_i(Y^{\exists x/X\phi_i}_{\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle}, \vec{x}, \vec{\mbox{rng}(X)_y})$

und ansonsten $Y^{\exists x/X\phi_i}_{\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle} = \emptyset$ .

Der Einfachheit halber gehe ich hier und im Folgenden davon aus, dass wann $\exists x/X\phi_i$ nimmt einen festen Zeugen, $Y^{\exists x/X\phi_i}_{\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle}$ ist die entsprechende Menge. Dann lass $Z$ so sein:

$Z^1 = \{Y^{\exists x/X\phi_i}_{\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle}: \vec{x}\in X^1 \wedge \vec{y}\in X^2, \mbox{for $\exists x/X\phi_i$ that take set witnesses}\}$

$\mbox{rng}(Z) = \{\langle \langle \exists x/X\phi_i, \vec{x},\vec{y}\rangle, z\rangle: z\in Y^{\exists x/X\phi_i}_{\langle \vec{x}, \vec{y}\rangle}, \mbox{for $\exists x/X\phi_i$ that take class witnesses}\}$

So $Z$ ist ein zählbares Modell, das unter Zeugen für die geschlossen ist $\phi_i$ mit Parametern von $X$ . Aus DC folgt, dass es eine abzählbare Folge gibt $Y$ von abzählbaren Modellen so dass $Y_0 = \emptyset$ Und $Y_{n+1}$ ist unter Zeugen für die geschlossen $\phi_i$ mit Parametern von $Y_n$ . Bei einer solchen Sequenz lassen Sie $Z$ so sein:

$Z^1 = \bigcup_{n\in\omega} Y^1_n$

$\mbox{rng}(Z) = \{\langle \langle n, x\rangle, y\rangle: \langle x, y\rangle\in \mbox{rng}(Y_n)\}$

Es ist dann einfach, dies zu überprüfen $Z$ ist ein zählbares Modell, das unter Zeugen für die geschlossen ist $\phi_i$ für seine Parameter. Es folgt dem $\phi_i^Z$ iff $\phi_i$ für Parameter von $Z$ (Wo $\phi_i^Z$ ist das Ergebnis der Einschränkung von Mengenquantoren in $\phi_i$ Zu $Z^1$ und Klassenquantoren zu $\{\mbox{rng}(Z)_y: y\in Z^2\}$ ). Beachten Sie schließlich das für das abzählbare Mengenmodell $M = \langle Z^1, \{Z^1\cap \mbox{rng}(Z)_y: y\in Z^2\}\rangle$ , wir haben:

$M\vDash \phi_i(\vec{x},\vec{Z^1\cap \mbox{rng}(Z)_y})$ iff $\phi_i^Z(\vec{x},\vec{\mbox{rng}(Z)_y})$

Daraus folgt, dass der abzählbare transitive Kollaps von $M$ , $M'$ , ist elementar äquivalent zu $V$ für Sätze unter den $\phi_i$ . So $M'$ ist unser gewünschter Zeuge für (1) und (2).

Kann es ein abzählbares transitives Modell geben, das dieselbe MKMKMK-Theorie wie VVV erfüllt?

Neil Barton

Eric Wofsey

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Benutzer104955

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