Kann jede Borel-Menge durch eine abzählbare Anzahl von Operationen ausgehend von den offenen Mengen erzeugt werden?

Ja, aber Sie sollten die Vorgänge klarer definieren. Zum Beispiel, wenn Sie lassen$G_0$sei die Familie der offenen Mengen und let$G_{n+1}$sei die Familie von Mengen, die abzählbare Schnittmengen (bzw. Vereinigungen) von Elementen von sind$G_{n}$Wenn$n$ist gerade (bzw.$n$ist ungerade) für$n\in\mathbb N$, dann ist es NICHT wahr, dass jede Borel-Menge ein Element von einigen ist$G_n$.

Aber diese Form ist wahr: Let$\Omega$sei die kleinste überabzählbare wohlgeordnete Menge ( ordinal ). Für$\alpha\in\Omega$, von$\alpha$ist das kleinste Element von$\Omega$, lassen$G_{\alpha}$sei die Familie der offenen Mengen. Wenn nicht, wenn$\alpha$gerade (bzw. ungerade) ist, sei$G_{\alpha}$sei die Familie der abzählbaren Durchschnitte (bzw. Vereinigungen) der Mengen, die zu einigen gehören$G_{\beta}$, Wo$\beta<\alpha$. Auch hier werden Grenzordnungen berücksichtigt. Dann stimmt das$\cup_{\alpha\in\Omega} G_{\alpha}$ist die Familie aller Borel-Sets.

Siehe Abschnitt 30.II von Kuratowskis Buch .