Die Borel-Algebra auf ist per Definition a -Algebra, die kleinste, die jede offene Teilmenge von enthält . Ich frage mich, wie sich die Borel-Algebra von der Algebra unterscheidet , die durch die offenen Teilmengen von generiert wird .
Was ist ein Beispiel für eine Menge in der Borel-Algebra, die Sie nicht erhalten können, indem Sie offene Teilmengen schließen? unter Ergänzungen und endlichen Vereinigungen?
Hinzugefügt. Funktioniert jede zählbare dichte Menge? Offensichtlich müssen wir eine Borel-Menge wählen, die weder offen noch abgeschlossen ist. Die Menge der rationalen Argumente in passt hier, und meine Intuition ist, dass es nicht mit endlich vielen Mengenoperationen mit offenen Mengen geschrieben werden kann, aber ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich es beweisen soll.
Behauptung: Für jeden Satz erhältlich die Grenze ist nirgendwo dicht .
Beweis: Der Rand der offenen Menge ist nirgends dicht. Nun zu den Operationen: 1) Komplement – da die Grenze für eine Menge und ihr Komplement gleich ist, ist dies automatisch 2) Vereinigung – Die Grenze einer Vereinigung ist eine Teilmenge einer Vereinigung von Grenzen, und somit ist sie eine Teilmenge einer Vereinigung von zwei nirgendwo dichte Mengen, so ist eine Teilmenge einer nirgendwo dichten Menge, und so ist nirgendwo dicht.
Somit können wir die Rationalen nicht erhalten, da ihre Grenze alles ist . Dasselbe gilt für alle abzählbaren dichten Mengen.
mordecai iwazuki
aduh
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Daniel Wainfleet