Was charakterisiert Äquivalenzklassen von eventuell gleichen binären Folgen eindeutig?

Lassen X sei die Menge aller unendlichen binären Folgen. (Oder wir können sie uns als Teilmengen von vorstellen N oder reelle Zahlen dazwischen 0 Und 1 .) Definieren wir eine Äquivalenzrelation ∼ An X indem ich das sage ( A N ) ∼ ( B N ) wenn sie schließlich gleich sind, dh wenn es eine natürliche Zahl gibt N so dass A N = B N für alle N ≥ N . Und lass Y sei die Menge der Äquivalenzklassen von Elementen von X unter ∼ .

Meine Frage ist, charakterisiert eine bestimmte Äquivalenzklasse in Y ? Wir können z. B. nicht sagen „an der 100. Stelle eine 1 haben“, denn für jede Folge, die an der 100. Stelle eine 1 hat, gibt es auch Folgen in derselben Äquivalenzklasse, die dies nicht tun. Und im Allgemeinen für jede Sequenz ( A N ) und jede Naturap-Nummer k , gibt es eine Sequenz ( B N ) ∼ ( A N ) Wo A k ≠ B k .

Was sind also die Mindestinformationen, die erforderlich sind, um ein bestimmtes Element von eindeutig zu spezifizieren? Y ? Das ist übrigens etwas ähnlich dem Begriff der Keime, den ich hier erörtere .

Antworten (1)

Die Beziehung ∼ wird häufiger bezeichnet E 0 , und so werde ich mich weiter unten darauf beziehen.

Eine Information, die sicherlich ausreicht, ist die Angabe eines Elements der gegebenen Äquivalenzklasse. Zu verstehen, wie schwierig das ist, führt zu der Frage:

Wie kompliziert muss eine Transversale denn sein E 0 Sei?

(Eine Transversale für eine Äquivalenzrelation ist einfach eine Auswahl von Repräsentanten für jede Äquivalenzklasse.) Es stellt sich heraus, dass im genauen Sinne E 0 ist in dieser Hinsicht ziemlich kompliziert: Es gibt keine Borel- Transversale. Das heißt, wenn A ⊆ N N ist Borel, dann gibt es einige A ∈ N N welches ist E 0 -bezogen auf kein Element von A oder ist E 0 -bezogen auf mehr als ein Element von A .

  • Übrigens kann dies unter mengentheoretischen Annahmen weiter vorangetrieben werden, zB wenn man annimmt, dass es für geeignete große Kardinalzahlen keine Transversale gibt E 0 im (sehr großen) inneren Modell L ( R ) - siehe diese Mathoverflow-Antwort (sie beginnt damit, über die Vitali-Beziehung zu sprechen X − j ∈ Q , bewegt sich dann aber zu E 0 , und tatsächlich sind die beiden angemessen äquivalent).

In der Tat charakterisiert diese Eigenschaft E 0 einzigartig in einem ziemlich breiten Kontext: Das Theorem von Harrington-Kechris-Louveau besagt, dass dies immer der Fall ist E ist eine Borel-Äquivalenzrelation auf N N , dann entweder E hat eine Borel-Querrichtung oder es gibt eine kontinuierliche Reduzierung von E 0 Zu E (" E ist mindestens so kompliziert wie E 0 "). Die allgemeine Untersuchung der Borel-Reduzierbarkeit von (nicht allzu komplexen) Äquivalenzbeziehungen ist ziemlich gut untersucht.

All dies besagt, dass es keine einfache Möglichkeit gibt, einen "kanonischen" Vertreter aus einem auszuwählen E 0 -Klasse; Dies ist ein guter Hinweis darauf, dass es keine "einfache" Art gibt, ein zu beschreiben E 0 -Klasse im Allgemeinen. (Natürlich ist das nicht endgültig, aber ich denke, Ihre Frage ist derzeit nicht präzise genug, um eine wirklich endgültige Antwort zuzulassen.)

Es könnte gut sein, hinzuzufügen, dass es keine Borel-Möglichkeit gibt, den Äquivalenzklassen Invarianten zuzuweisen (wie die "1 an der 100. Stelle" des OP). Auch wenn diese Nicht-Glattheit aus dem folgt, was Sie bereits geschrieben haben, scheint es (für mich) näher an der Denkweise des OP über das Thema zu liegen.
@AndreasBlass Kannst du diesen Punkt näher erläutern, vielleicht indem du deine eigene Antwort postest?
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