Durch ∀∃∀∃\forall\exists-Sätze induzierte Endlichkeitsbegriffe

Arbeiten Sie währenddessen ein$\mathsf{ZF}$und die Aufmerksamkeit auf endliche Sprachen beschränken.

Lassen$\mathsf{Ded}$Und$\mathsf{Amo}$seien die Klassen von Dedekind-endlichen bzw. amorphen Mengen. Für$T$eine konsistente Theorie ohne endliche Modelle, let$\mathbb{F}_T$Sei die Klasse von Mengen, in die kein Modell von$T$kann injiziert werden. Mich interessiert was$\mathbb{F}_T$kann sein wenn$T$ist durch eine einzige axiomatisierbar$\forall^*\exists^*$-Satz.

Beginnen Sie insbesondere mit den folgenden Beobachtungen:

• Von Löwenheim-Skolem haben wir immer$\mathbb{F}_T\subseteq\mathsf{Ded}$für angemessen$T$.

• Vermuten$\varphi$ist ein$\exists^*\forall^*$-Satz, der erfüllbar ist, aber keine endlichen Modelle hat. Dann$\mathbb{F}_{\{\varphi\}}=\mathsf{Ded}$: Wenn$\mathcal{M}\models\varphi$, reparieren Sie ein "Witnessing Tuple"$\overline{a}\in\mathcal{M}$und betrachten Sie die Unterstruktur von$\mathcal{M}$generiert durch$\overline{a}$.

• Andererseits vermietet$D$sei die Theorie von zwei disjunkten unendlichen Mengen, die wir haben$\mathbb{F}_D=\mathsf{Amo}$.

• Interessanterweise haben wir das$\mathbb{F}_T\supseteq\mathsf{Amo}$für jeden erfüllbar$T$ohne endliche Modelle, daher stellen die obigen Aufzählungspunkte die beiden Extremsituationen dar; darüber hinaus,$\mathbb{F}_{T}\supsetneq\mathsf{Amo}$Wenn$T$ist zusätzlich endlich axiomatisierbar. (Siehe hier .)

Darüber hinaus sind mir die Dinge nicht so klar. Insbesondere scheint die folgende Frage naheliegend:

Gibt es ein$\forall^*\exists^*$-Satz$\varphi$so dass$\mathbb{F}_{\{\varphi\}}$liegt strikt dazwischen$\mathsf{Amo}$Und$\mathsf{Ded}$(Äquivalent, so dass$\mathbb{F}_{\{\varphi\}}\not=\mathsf{Ded}$)?

Allgemeiner bin ich daran interessiert, die Quasiordnung von zu verstehen$\forall\exists$-Sätze in Bezug auf die Beziehung "Jedes Modell von$\varphi$lässt eine Einspritzung von irgendeinem Modell zu$\psi$." Diese Frage läuft darauf hinaus zu zeigen, dass diese Quasiordnung nicht trivial ist.