Ordnung von Mengen von Kardinalzahlen

Satz Für jede Kardinalzahl M es gibt eine bestimmte nächstgrößere Kardinalzahl.

Dieser Satz wird auf Seite 136 von "Proofs from the Book" unter Verwendung der Tatsache bewiesen, dass jede Menge von Ordnungszahlen wohlgeordnet ist. Die letztere Tatsache wird jedoch ohne Beweis vorgelegt.

Die Argumentation erscheint mir irgendwie seltsam, weil es scheint, dass wir die Ordnungsmäßigkeit jeder Menge von Kardinalzahlen durch dieselbe Eigenschaft für Mengen von Ordnungszahlen beweisen. (Und ich habe das Gefühl, dass der Beweis für Ordinalzahlen noch schwieriger sein sollte als der für Kardinalzahlen, aber ich muss mich irren!)

Ich habe keinen Hintergrund in Mengentheorie oder Logik, aber ich hatte gehofft, jemand könnte mich entweder auf eine "nicht-technische" Referenz verweisen oder vielleicht einige Einblicke dazu geben. Danke!

Die Ordnungszahlen sind im Wesentlichen per Definition wohlgeordnet. Der eigentliche Inhalt ist hier die Behauptung, dass man alle Kardinalitäten durch Ordinalzahlen darstellen kann.
@EricWofsey Um fair zu sein, es hängt davon ab, welche Definition Sie verwenden. Wenn „Ordinal“ „erblich transitive Menge“ bedeutet, dann ist das definitiv nicht nur per Definition so.

Antworten (1)

Ich würde Ihnen eines von zwei Büchern empfehlen, um etwas über die Grundlagen der Mengenlehre zu lernen,

Beweise und Grundlagen von Ethan D. Bloch
Topologie von James B. Munkres

In diesem Zusammenhang sind die natürlichen Zahlen 0 , 1 , 2 , … . Auf jeden Fall ist Ihr 2. Absatz sehr mutmaßlich und nicht aufschlussreich: OP hat nichts darüber gesagt ω (die natürlichen Zahlen); die Aussage gilt für jeden Kardinal. Der übliche Beweis verwendet die Hartogs-Zahl des Kardinals und keine Wahl.
Danke für die Buchvorschläge, William. Wollte nur betonen, dass es bei meiner Frage nicht um das Beweisschreiben in der Mathematik geht, sondern um etwas ganz Spezielles zu Ordnungs- und Kardinalzahlen. (Ich habe mir das erste Buch angesehen und es behandelt überhaupt keine Ordnungszahlen!)
Die Grundlage des Beweisschreibens in der Mathematik ist ein starkes Verständnis der Mengentheorie. Das Buch heißt "Beweise und Grundlagen", behandelt aber die Grundlagen der Mengenlehre. Munkres ist eine fortgeschrittenere Behandlung. Ich würde vorschlagen, dass Sie diese beiden Bücher lesen, um eine solide Grundlage dafür zu bekommen, wie man Funktionen, Mengen und Beziehungen manipuliert. Dann wirst du in der Lage sein, selbst einen guten Beweis zu schreiben.
Ordnung von Mengen von Kardinalzahlen
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