Regressive Funktion auf singulärer Kardinalzahl mit begrenztem Urbild für jeden Punkt

Die folgende Behauptung wird in Levys Basic Set Theory als offensichtlich angesehen:

Wenn$\kappa$ein singulärer Kardinal ist, dann gibt es eine regressive Funktion$f:\kappa\to \text{cf}(\kappa)$, so dass für alle$\gamma<\text{cf}(\kappa)$, das Vorbild$f^{-1}"\{\gamma\}$unten begrenzt ist$\kappa$.

Ich verstehe nicht, warum diese Behauptung gilt. Die intuitive Sache, die Sie zuerst versuchen sollten, ist, eine Cofinal-Sequenz zu nehmen$(\alpha_i\mid i<\text{cf}(\kappa))$In$\kappa$mit Bestellart$\text{cf}(\kappa)$, und stellen Sie sich diese Sequenz als Unterbrechung vor$\kappa$in Intervalle. Also würden wir jeden abbilden$x$im Intervall$(\alpha_i, \alpha_{i+1}]$Zu$\alpha_i$. Das geht aber nicht, weil unklar ist wo$\alpha_\lambda$sich selbst zugeordnet werden, für jede Grenzordnungszahl$\lambda$. Aufzählung der Grenzpunkte in$(\alpha_i\mid i<\text{cf}(\kappa))$und das Ausprobieren einer ähnlichen Karte scheint auch nicht zu helfen, weil wir uns um die Grenzen der Grenzen kümmern müssen und so weiter.

(Bearbeiten: Wie Sie sehen können, habe ich mich oben völlig verwirrt. Ich habe versucht, die Dinge den Elementen in der Cofinal-Sequenz anstelle ihrer Indizes zuzuordnen. Als Ergebnis hat die Karte, die ich zu definieren versuchte, eine Reichweite weit darüber$\text{cf}(\kappa)$!)

Daher bin ich jetzt etwas verloren. Müssen wir das Lemma von Fodor irgendwie verwenden?