Wie groß kann das Produkt einer Familie ohne Wahlaxiom sein?

Mit AC haben wir den Satz von König, der dies für zwei Kardinalfamilien besagt κ ich Und λ ich , wenn überhaupt ich , κ ich < λ ich , Dann ∑ ich ∈ ICH κ ich < ∏ ich ∈ ICH λ ich .

Ohne Klimaanlage, ∏ ich ∈ ICH λ ich könnte leer sein. Aber kann seine Kardinalität irgendetwas dazwischen sein? 0 Und ∑ ich ∈ ICH κ ich ?

Antworten (1)

Dies bedarf einer zusätzlichen Klärung.

Wenn wir über Summen und Produkte von Kardinalzahlen sprechen, wollen wir im Prinzip sagen, dass diese nicht von der Wahl der Mengen abhängen, die wir in die Summe und Produkte stecken. Aber ohne das Axiom der Wahl ist es durchaus möglich, dass die unendlichen Summen und Produkte von Kardinalzahlen von vornherein nicht wohldefiniert sind.

Wir können dies überwinden, indem wir sagen, dass es bei Königs Satz letztendlich um Ordinalzahlen geht, also sprechen wir über die Summe und Produkte dieser spezifischen Ordinalzahlen und dann über die Kardinalitäten dieser Summen und Produkte.

Damit sind die Summen immer gut geordnet, zumindest unter der Annahme, dass der Indexsatz gut geordnet war. Die Produkte hingegen müssen nicht gut bestellbar sein. Zum Beispiel, wenn R nicht wohlgeordnet werden können, dann sind die einzigen unendlichen Produkte von Ordnungszahlen, die wohlgeordnet werden können, diejenigen wo 0 erscheint, oder wo co-endlich viele der Ordinalzahlen sind 1 .

Dennoch können wir das leicht zeigen, wenn die ∏ λ ich gut geordnet werden kann , dann ist sie sicherlich streng größer als die Summe ∑ κ ich , unter der Annahme, dass κ ich < λ ich , Natürlich. Der Grund ist einfach: Die Wohlordnung gibt Ihnen alle Möglichkeiten, die Sie für den Beweis des Satzes von König benötigen.

Beachten Sie, dass, wenn Sie dies einfach benötigen κ ich sind Ordnungszahlen und so κ ich < λ ich , wir können eine seltsame Situation bekommen, mit λ ich = κ ich + 1 , ICH = ω , Und ∑ κ ich = ℵ 1 , ∏ λ ich = 2 ℵ 0 , aber die beiden Kardinäle sind in diesem Fall unvergleichlich!

In diesem Fall natürlich auch nicht κ ich noch λ ich ist ein Kardinal, also dehnt dies die Definitionen wirklich aus.

Mir ist aufgefallen, dass der Satz von König in meinem Lehrbuch wie folgt formuliert ist: Sei ( X ich : ich ∈ ICH ) Und ( Y ich : ich ∈ ICH ) zwei Familien von Mengen sein und dies für jede annehmen ich ∈ ICH , C A R D ( X ich ) < C A R D ( Y ich ) , Dann ∑ ich ∈ ICH X ich < ∏ ich ∈ ICH Y ich . Jetzt ∏ ich ∈ ICH Y ich ist immer wohldefiniert. Was können wir ohne AC über seine Kardinalität sagen?
Im letzten Beispiel mit ordinal is κ ich ?
Absolut gar nichts.
Das kann jeder sein X ich ist ein Satz der Größe 2, und jeder Y ich ist ein Satz der Größe drei, und doch sind Summe und Produkt unvergleichbar.
Wenn jeder Y ich eine Menge der Größe drei ist, dann könnten wir zumindest sagen, dass wenn das Produkt nicht leer ist, es mindestens die Kardinalität von hat ICH NEIN?
Wenn jeder X ich ist von Größe 2 , Und ICH = w , ist die Summe von X ich still w ?
Nehme an, dass P ich für ich ∈ ICH = ω ist eine Familie von Paaren, so dass keine unendliche Unterfamilie eine Auswahlfunktion zulässt. In Betracht ziehen Y ich = P ich ∪ { ich } . Jetzt ∏ Y ich ist nicht leer. Aber alle Wahlfunktionen sind koendlich gleich F ( ich ) = ich . Wenn das Produkt also eine abzählbar unendliche Teilmenge hat, können wir es verwenden, um eine Auswahlfunktion aus unendlich vielen zu definieren P ich S. Daher muss das Produkt nicht größer als der Indexsatz sein.
Nein, in meinem vorherigen Beispiel habe ich darauf angespielt. Jede P ich Größe hat 2 , Und ICH Ist ω . Aber die Vereinigung ist Dedekind-endlich, enthält also insbesondere keine abzählbar unendliche Teilmenge.
Ich weiß nicht, ob ich das richtig verstehe. Meinst du, dass die Vereinigung von ω Sätze der Größe zwei ist es nicht ω ?
Ist nicht unbedingt zählbar. Nein. Sie müssen für jedes Paar auswählen, welches das erste und welches das zweite ist. Das erfordert eine Auswahl.
Wenn du das sagst ∑ κ ich = ℵ 1 , was sind κ ich ?
Wie groß kann das Produkt einer Familie ohne Wahlaxiom sein?
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