Schwach unzugängliche Kardinäle und die Entdeckung der modernen Mengenlehre

Question

Schwach unzugängliche Kardinäle und die Entdeckung der modernen Mengenlehre

Kardinäle
Mengenlehre
Mathematik
große Kardinäle

James

Also habe ich versucht, mir selbst etwas Mengenlehre beizubringen, und bin auf einige Übungen in Just and Weeses Discovering Modern Set Theory gestoßen. Zu Pfingsten:

S. 180

Definition 20: Ein Kardinal $\kappa$ heißt schwach unzugänglich wenn $\kappa$ ist eine unabzählbare regelmäßige Grenzkardinalzahl.

Aufgabe 27 (PG): Zeigen Sie, dass wenn $\alpha$ ist also ein schwach unzugänglicher Kardinal $\alpha=\aleph_\alpha$ .

Aufgabe 28 (R): Zeigen Sie, dass die kleinste Ordinalzahl $\alpha$ so dass $\alpha=\aleph_\alpha$ ist kein schwach unzugänglicher Kardinal.

Endet

Zum ersten habe ich das per Induktion bewiesen $\alpha\subseteq\aleph_\alpha$ für alle Ordnungszahlen $\alpha$ , natürlich muss ich den schwach unzugänglichen Teil benutzen, um in die andere Richtung zu gehen, aber ich habe keine Ahnung, wo ich anfangen soll. Schwach unzugänglich gibt an, dass jede Funktion mit cofinal reicht $\alpha$ hat mindestens eine Domäne $\alpha$ aber das heißt, dass die Dinge groß sind, wo ich das brauche $\aleph_\alpha$ ist klein.

Das zweite ist mir schleierhaft, ich habe überlegt zu zeigen, dass ZFC die Existenz einer solchen Ordnungszahl beweist $\alpha$ , und appellieren Sie dann an die Tatsache, dass die Existenz eines schwach unzugänglichen Kardinals unabhängig von ZFC ist, dieses Ergebnis muss jedoch im Text noch erzielt werden, und daher stelle ich mir vor, dass dies nicht das sein kann, was gewollt ist.

Gedanken?

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Asaf Karagila · Answer 1

Der zweite ist einfacher, einfach durch Rekursion definieren $\lambda_0=\mu$ , $\lambda_{n+1}=\aleph_{\lambda_n}$ , für $n\in\omega$ ( $\mu$ ist irgendein Kardinal). Dann rechne was ist $\lambda_\omega=\sup\{\lambda_n\mid n\in\omega\}$ .

Der erste ist auch nicht viel schwerer. Weil $\aleph_\alpha$ ist Grenze, $\alpha$ ist eine Grenzordnungszahl. Wählen Sie eine Kofinalsequenz aus $\alpha$ , $\langle\delta_i\mid i<\operatorname{cf}(\alpha)\rangle$ . Betrachten Sie die Reihenfolge $\aleph_{\delta_i}$ . Was ist seine Grenze? Worauf können Sie schließen $\operatorname{cf}(\alpha)$ aus der Annahme, dass $\aleph_\alpha$ ist auch regelmäßig?

Danke, ich denke, Sie haben Zweifel an dem Schwierigkeitsbewertungssystem, wenn Sie denken, dass das zweite einfacher ist.
Ich bin; aber auch der zweite ist nur ein Trick. Und sobald Sie diesen Trick verstanden haben, ist er sehr einfach zu lösen; aber der erste verlässt sich auf keine Tricks. Es geht nur darum, die Definitionen zu überprüfen, und das kann ein Schmerz im hinteren Bereich sein, der die Oberschenkel mit dem unteren Rücken verbindet.
Deutlich $\lambda_\omega$ hat $\lambda_\omega = \aleph_{\lambda_\omega}$ , aber ich denke, die 'R'-Bewertung kommt von der Tatsache, dass es nicht sofort offensichtlich ist, dass es der kleinste Kardinal dieser Form ist, oder sogar, dass es keinen unzugänglichen kleineren als ihn gibt. (Es ist ziemlich einfach, aber ich denke, es braucht immer noch ein bisschen mehr Argumente.)
Ich mag den Trick irgendwie, es fühlt sich an, als würde man sich dem annähern, was man will, und das Limit nehmen, was meiner Meinung nach genau das ist, was man tut.
@James: Es ist nicht ganz dieser Trick, das ist der Trick, den wir in vielen anderen Bereichen verwenden (zB Forcen). Ich kann diesen Trick allerdings nicht mit schönen Worten beschreiben. Vielleicht ist es einfach zu spät...
Oder vielleicht die Tatsache, dass wir sagen $a$ erweitert $b$ Wenn $a<b$ hat dich zum krachen gebracht. Das ist im Grunde alles, was ich über das Erzwingen weiß...
@James: Ich sehe, dass Sie die Konvention von Jerusalem unterstützen, noch bevor Sie die eigentliche Idee des Zwanges verstehen. Nun, wenn man Boolesche Algebren verwendet, um ihre Forcierung durchzuführen, dann ist die Erweiterung nach unten eine sehr vernünftige Idee.
Nun, ich ziehe es vor, meine Werturteile in einem Zustand der Unwissenheit zu treffen. Obwohl ich denke, dass ich die Idee des Erzwingens verstehe, haben Sie eine teilweise Ordnung und Sie verwenden diese, um Generika hinzuzufügen und auf magische Weise CH oder was auch immer zu brechen. Seht, totales Verständnis.

Brian M. Scott · Answer 2

Zur Übung $28$ lassen $\alpha_0=0$ . Gegeben $\alpha_n$ , lassen $\alpha_{n+1}=\aleph_{\alpha_n}$ . Dann

a = sup_{N \in ω} a_{N} = sup_{N \in ω} a_{N + 1} = sup_{N \in ω} ℵ_{a_{N}} = ℵ_{a},

$\alpha=\sup_{n\in\omega}\alpha_n=\sup_{n\in\omega}\alpha_{n+1}=\sup_{n\in\omega}\aleph_{\alpha_n}=\aleph_\alpha\;,$

Aber $\operatorname{cf}\alpha=\omega<\alpha$ . Es ist nicht schwer zu sehen, dass dies $\alpha$ ist die kleinste Ordnungszahl, die erfüllt $\alpha=\aleph_\alpha$ .

Hinzugefügt: Für Übung $27$ das hast du schon gezeigt $\alpha\le\aleph_\alpha$ . Wenn $\alpha<\aleph_\alpha$ , Dann $\alpha=\aleph_\beta$ für einige $\beta<\alpha$ , So $\operatorname{cf}\alpha\le\beta<\alpha$ , was der Regelmäßigkeit von widerspricht $\alpha$ .

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