Weltliche vs. unzugängliche Kardinäle, warum anders?

Ich kenne die genaue Definition des Grothendieck-Universums, die Sie verwenden, nicht, aber das Folgende ist der Kern der Sache und kann angepasst werden, um das eine oder andere Axiom Ihrer Definition anzusprechen.

Eine Eigenschaft, die ein Grothendieck-Universum hat$U$erfüllen muss ist, dass wenn$x\in U$Und$f:x\to U$eine Funktion ist, dann das Bild von$f$ist ein Element von$U$. Sie können diese Aussage jedoch nicht beweisen, indem Sie dies nur wissen$U$ist ein Modell von ZFC. Das Problem ist, dass das einzige Axiom, das Sie möglicherweise verwenden können, um dies zu beweisen, Ersetzen ist, aber Ersetzen gilt nur für Funktionen, die durch eine Formel mit Parametern definiert sind. Es ist möglich, dass es in der Sprache der Mengenlehre keine Formel gibt, die die Funktion definiert$f$wenn hineininterpretiert$U$, auch wenn Sie Elemente von zulassen$U$als Parameter in der Formel.

Um dies mit Asafs Antwort zu verbinden, dem am wenigsten weltlichen Kardinal$\kappa$hat abzählbare Kofinalität und ist die Grenze einer Folge$(\alpha_n)_{n\in\omega}$, was eine Funktion ist$\omega\to V_\kappa$. Diese Funktion kann jedoch nicht in der Struktur definiert werden$V_\kappa$, und so Ersatz in$V_\kappa$erfordert nicht, dass diese Funktion tatsächlich ein Element von ist$V_\kappa$(und das ist es tatsächlich nicht). Dies unterscheidet sich nicht davon, dass ein zählbares Modell von ZFC nicht weiß, dass es zählbar ist, da die Funktion aus$\omega$das würde seine Zählbarkeit bezeugen, ist kein Element des Modells.

Das Mindeste$\kappa$so dass$V_\kappa$ist ein Modell von$\sf ZFC$– wenn so$\kappa$existiert, das heißt – hat Kofinalität$\omega$. Es ist sicherlich nicht unzugänglich, da es singulär ist.

Aber ein Grothendieck-Universum ist unter beliebigen Funktionen mit Domänen innerhalb des Universums abgeschlossen. Das bedeutet, wenn$\alpha_n$ist die Cofinal-Sequenz unten$\kappa$, seit$\omega\in V_\kappa$, die Folge selbst$\langle\alpha_n\mid n<\omega\rangle$muss drinnen sein$V_\kappa$sowie. Aber es kann nicht sein, da sein Höchstes ist$\kappa$.

Beachten Sie, dass die Tarski-Grothendieck-Mengentheorie ebenfalls kein Fundament als Axiom enthält, aber aus dem gleichen Grund wie oben folgt. Wenn die Foundation versagt, gibt es einen Beweis dafür in Form einer Abnahme$\omega$-Sequenz, aber das würde das Scheitern von Foundation im Universum bezeugen. Und das ist natürlich unmöglich.

Zusätzlich zu den anderen Antworten halte ich es für sinnvoll, sich einen Beweis dafür anzusehen

Tatsache. Der am wenigsten weltgewandte Kardinal$\kappa$, falls vorhanden, ist von Kofinalität$\omega$.

Beweis (Skizze). Lassen$\lambda$Sei ein weltlicher Kardinal von unzähliger Cofinality und sorge für Ordnung$\prec$von$V_{\lambda}$. Lassen$(\phi_n \mid n \in \omega)$sei eine Aufzählung aller Axiome von$\mathrm{ZFC}$(oder, wenn Sie wollen, der Theorie der$(V_{\lambda}; \in)$), die unter Teilformeln abgeschlossen ist. Lassen$\lambda_0 = \omega$und gegeben$\lambda_i$lassen$\lambda_{i} < \lambda_{i+1}$minimal sein, so dass$V_{\lambda_{i+1}}$enthält alle Auswertungen der$\prec$-Skolem Begriffe für$(\phi_n \mid n < \omega)$mit Parametern drin$V_{\lambda_{i}}$, also wann immer$\vec{p} \in [V_{\lambda_i}]^{<\omega}$Und

Obwohl$V_{\kappa}$ist ein Modell von$\mathrm{ZFC}$für alle weltlichen Kardinäle$\kappa$, du kannst es nicht beweisen$V_{\kappa}$Das$V_{\kappa}$ist (extern) ein Grothendieck-Universum, da dies erfordert, dass Sie über Klassen von (externer) Größe quantifizieren$\kappa$, was Sie innerhalb nicht tun können$V_{\kappa}$seit$\kappa \not \in V_{\kappa}$.