Ausbeutung der Grothendieck-Universen

Ein Grothendieck-Universum bietet ein leicht verständliches Beispiel für ein Modell von ZFC. Da ZFC, wenn es konsistent ist, die Existenz eines Modells von sich selbst nicht beweisen kann, muss die Existenz von Universen durch neue Axiome angenommen werden, was der Ansatz der TG-Mengentheorie ist .

Die TG-Mengentheorie kann, wenn sie noch konsistent ist, die Existenz eines Modells ihrer selbst nicht beweisen. Aber wir können ein weiteres „Hyperuniversum“-Axiom hinzufügen:

Für jeden Satz X es existiert ein universum U mit X ∈ U , so dass für jeden Satz Y ∈ U , es existiert ein Universum v mit Y ∈ v ∈ U .

Mit anderen Worten: Jede Menge ist als Element in einem „Hyperuniversum“ enthalten, das ein Modell der TG-Mengenlehre ist.

Sobald man sich auf diese Reise begibt, scheint es natürlich, weitere Axiome bezüglich "Hyper-Hyper-Universen" usw. hinzuzufügen.

Meine erste Frage ist: Wie weit können wir diesen Gedanken ausnutzen? Ist es überhaupt unendlich fortsetzbar (" ω -Hyperuniversen", " ω + 1 -Hyperuniversen" usw.)? (Entschuldigung, ich weiß nicht, wie ich diesen Gedankengang richtig beschreiben soll, ich hoffe, Sie wissen, was ich meine.) Gibt es einige erstaunliche Konsequenzen? Oder Ungereimtheiten?

Meine zweite Frage lautet: Können Sie sich vorstellen, dass ein „gewöhnlicher Mathematiker“ solche „Hyperuniversen“ benötigt?

Antworten (1)

Sie starten die große Kardinalhierarchie .

Das unendliche Iterieren von Universen ist nur der sehr sehr sehr sehr sehr Anfang der gigantischen großen kardinalen Hierarchie . Universen entsprechen genau (stark) unzugänglichen Kardinälen, die (mehr oder weniger) die kleinsten davon sind: κ ist unzugänglich iff κ ist ein unzählbarer regelmäßiger starker Grenzkardinal, und ein Grothendieck-Universum ist genau eine Menge der Form v κ für einige unzugänglich κ (siehe Diskussion hier ). Hyperuniversen hingegen korrespondieren 1 Zu 1 -unzugänglich. Eine natürliche Grenze dieser iterativen Idee ist der hyperunzugängliche Kardinal.

... Und das ist nach den Maßstäben des Themas immer noch extrem winzig. Es gibt eine allgemeine Trennung zwischen den "kleinen" großen Kardinaleigenschaften und den "großen" großen Kardinaleigenschaften - grob gesagt beginnen letztere mit den messbaren Kardinälen . Leider haben die kleineren die coolen Namen, wie (in zunehmender Stärke/Größe und jeweils größer als Mahlos) unbeschreiblich, ätherisch und unbeschreiblich. Wikipedia hat eine gute Liste .

Was sind also die mathematischen Konsequenzen dieser Dinge?

Zum einen liefern große Kardinalprinzipien, die in dieser Hierarchie hoch genug stehen, Zahmheitsergebnisse : Sobald Sie zB anfangen, die Ebene der messbaren Kardinäle zu erreichen (die unkalkulierbar größer sind als die unzugänglichen), können Sie nachweisen, dass immer mehr Mengen von Realzahlen Lebesgue sind messbar. Als konkretes Beispiel ist die Messbarkeit jedes kontinuierlichen Bildes einer koanalytischen Menge von ZFC + großen Kardinälen beweisbar, aber nicht von ZFC.

Dieser Aspekt der großen kardinalen Implikationen ist an dieser Stelle durch die Theorie des inneren Modells und die deskriptive Mengenlehre ziemlich gut verstanden . Kurz gesagt, der Schlüsselbestandteil ist die Idee der Bestimmtheit: Große Kardinäle implizieren, dass immer mehr abstrakte Spiele bestimmt werden, und Zahmheitseigenschaften entsprechen oft der Bestimmtheit eines assoziierten Spiels. Weitere Informationen hierzu finden Sie in Larsons Essay.

Es gibt jedoch auch andere seltsame Erscheinungen großer Kardinäle in der Mathematik. In der Algebra tauchen sie beim Studium der linken Verteilungsalgebren auf, und hier gibt es immer noch Ergebnisse, für die kein großer Kardinalbeweis bekannt ist. diese Umfrage von Dehornoy ist relevant. Es gibt auch Erscheinungen in der rein endlichen Kombinatorik, die hauptsächlich von Harvey Friedman in einer Vielzahl von Formen untersucht wurde.

Was ist jetzt mit der Konsistenz?

Die Situation ist meines Erachtens von überraschender Konsequenz : Es sind keine "tiefen" Inkonsistenzen aufgetreten, und die wenigen plausiblen großen Kardinalbegriffe, von denen wir jetzt wissen, dass sie inkonsistent sind (z. B. Reinhardt-Kardinäle und Moschovakis-Kardinäle ), waren schnell schnell entdeckt, so zu sein.

In der Tat gibt es hier eine urkomische Geschichte über einen besonders großen Kardinalbegriff – das Vopenka-Prinzip . Dies wurde ursprünglich von Vopenka als Witz eingeführt; Wopenka ärgerte sich über die Verbreitung großer Kardinalprinzipien und schlug eines vor, das zunächst plausibel schien, von dem er jedoch glaubte, es als widersprüchlich erweisen zu können. Aber sein Inkonsistenz-Argument brach zusammen, und jetzt sind Vopenka-Kardinäle in der Mengenlehre tatsächlich ziemlich bedeutend - und viele ihrer ernsthaften Studien wurden von Jech, Vopenkas eigenem Schüler, abgebrochen! Siehe Pudlaks Darstellung des Themas .

1 Eigentlich nicht - die Definition, die Sie gegeben haben, ist nicht wirklich das, was Sie wollen. Beispielsweise gibt es unter vernünftigen Annahmen ein abzählbares transitives Modell der TG-Mengentheorie. Beachten Sie, dass die übliche Definition eines Universums mehr als nur ein transitives Modell von ZFC ist – es wird auch gefordert, dass es unter Powersets und Funktionsbereichen geschlossen ist, die externe Bedingungen sind.

Stattdessen ist der richtige Weg, ein Hyperuniversum zu definieren, wie folgt: U ist ein Hyperuniversum iff U ist ein Universum und für jeden X ∈ U Es gibt ein Universum U X mit X ∈ U X ∈ U . Dann sind die Hyperuniversen genau die Mengen der Form v κ für κ eine unzugängliche Grenze von unzugänglichen (= 1 -nicht zugänglich).

Lassen Sie mich „Eine natürliche Grenze dieser iterativen Idee ist der Mahlo-Kardinal“ aus zwei Gründen nicht zustimmen: (1) Ich sehe nicht wirklich die Art von Grenze, die hier beteiligt sein könnte. Mahlo-Kardinäle scheinen (für mich) wesentlich anders zu sein als alles, was ich mir ausdenken würde, beginnend mit der Idee der Iteration. (2) Ein Stecker für Paul Mahlo. Er führte 1911 die sogenannten Mahlo-Kardinäle ein. Zum Vergleich wurde 1956 die wichtigste Eigenschaft stationärer Mengen, Fodors Lemma, veröffentlicht.
@AndreasBlass Hoppla, ich habe Mahlos mit Hyperinaccessibles in Verbindung gebracht! Befestigung ...
Danke für diese umfangreiche Antwort! Ich interessiere mich mehr für die technische Umsetzung hyperuniverseller Axiome. Ich kann mir vorstellen, dass Axiome für jede Menge in 1-, 2-, 3-Universen usw. enthalten sind. Aber wie formalisiert man ein transfinites Universumsaxiom? Das Coole an Grothendieck-Universen ist, dass ihre einfache Definition nicht auf einer ausgeklügelten Mengenlehre bezüglich der kumulativen Hierarchie und von Neumann-Kardinalzahlen beruht.
Ich denke, der am coolsten klingende Kardinalname, den ich gesehen habe, ist "völlig unbeschreiblich".
@DanielWainfleet Ich bin selbst ein Fan von "unaussprechlich", da es eigentlich ziemlich schwach ist. Unabhängig davon ist es ein langfristiges Ziel von mir, eine große Kardinalseigenschaft namens „Unfassbarkeit“ einzuführen, deren Definition eine leicht zu übersehende Subtilität haben sollte, damit sie nicht das bedeutet, was Sie denken, dass sie bedeutet. :P
@Lucina Wenn Sie höher gehen, müssen Sie anfangen, mehr mengentheoretische Sprache zu verwenden. Insbesondere ein Niveau- ω Universum sollte ein Universum sein U so dass für jeden X ∈ U Und jeder N ∈ ω Es gibt eine Ebene - N Universum U X N mit X ∈ U X N ∈ U . Das heißt jedoch nicht, dass alles verloren ist. Zum Beispiel können wir die Eigenschaft „Spiegeluniversum“ betrachten: „jedes Set X ist in einer transitiven Menge enthalten M so dass ( M , ∈↾ M ) ≺ ( v , ∈ ) (abgekürzt " M ≺ v “) und wann immer X ∈ M Und F : X → M wir haben R A N ( F ) ∈ M ." Dies ist ziemlich nicht mengentheoretisch:
Der Begriff der elementaren Einbettung ist ein rein modelltheoretischer und für Kategorientheoretiker (zumindest einige von ihnen) interessanter Begriff . Zugegeben, das "Prinzip des Spiegeluniversums" ist in ZFC nicht ausdrückbar, aber in NBG (und das ist sowieso ein natürlicherer Rahmen für die Kategorientheorie) . Und es ist extrem mächtig. Zum Beispiel irgendwelche M ≺ v muss powerset erfüllen, da v tut; nach Elementarität, wann immer X ∈ M die Sache M denkt ist das Powerset von X eigentlich ist das powerset von X . Allgemeiner, M ist ein Universum. Es ist auch ein Hyperuniversum – und so weiter.
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