Sei E(λ)≠∅E(λ)≠∅\mathcal{E}(\lambda)\neq\emptyset. Warum erfüllt VλVλV_\lambda nicht die Existenz eines Reinhardt?

Question

Sei E(λ)≠∅E(λ)≠∅\mathcal{E}(\lambda)\neq\emptyset. Warum erfüllt VλVλV_\lambda nicht die Existenz eines Reinhardt?

Mengenlehre
Mathematik
große Kardinäle

Keith Millar

$\mathcal{E}(\lambda)\neq\emptyset$ genau dann, wenn es eine nichttriviale elementare Einbettung gibt $j:V_\lambda\rightarrow V_\lambda$ .

Meine Frage ist, warum dies überhaupt konsistent sein kann. Eine Funktion $j:A\rightarrow B$ für $A,B\subseteq V_\lambda$ ist eine elementare Einbettung in $V_\lambda$ dann und nur dann, wenn $j$ ist eine Funktion in $V_\lambda$ (was wahr ist) und für jede erste Ordnung $\varphi$ :

$V_\lambda\models\forall a_0\in A((A\models\varphi(a_0))\Leftrightarrow(\exists b_0\in B((a_0,b_0)\in j\land B\models\varphi(b_0)))$
$V_\lambda\models\forall a_0,a_1\in A((A\models\varphi(a_0,a_1))\Leftrightarrow(\exists b_0,b_1\in B((a_0,b_0)\in j\land (a_1,b_1)\in j\land B\models\varphi(b_0,b_1)))$
...

Es scheint jedoch so, als ob dies wahr ist, wenn und nur wenn $j:A\rightarrow B$ ist eine eigentliche elementare Einbettung.

Erste Frage: Warum ist nicht der Rang jedes I3-Kardinals ein Modell für die Existenz eines Reinhardt-Kardinals?

Zweite Frage: Bei ausreichend großer Kardinalzahl $\kappa$ (unzugänglich, vielleicht), wann tut $V_\kappa$ das befriedigen $j$ ist für einige eine nicht triviale elementare Einbettung $j\subseteq V_\kappa$ ?

Andrés E. Caicedo

λ

$\lambda$ ist das Supremum der kritischen Sequenz, also schlägt die Ersetzung fehl

V_{λ}

$V_\lambda$ für die Sprache

{\in, j}

$\{\in,j\}$ . Wenn Sie die Möglichkeit dazu zulassen

λ

$\lambda$ ist stattdessen der Nachfolger des Supremums der kritischen Sequenz, dann

V_{λ}

$V_\lambda$ ist nicht einmal ein Modell von

Z F C

$\mathsf{ZFC}$ .

Asaf Karagila

Die zweite Frage ist wie gesagt bedeutungslos.

Antworten (1)

Sei E(λ)≠∅E(λ)≠∅\mathcal{E}(\lambda)\neq\emptyset. Warum erfüllt VλVλV_\lambda nicht die Existenz eines Reinhardt?

$\lambda$ ist das Supremum der kritischen Sequenz, also schlägt die Ersetzung fehl $V_\lambda$ für die Sprache $\{\in,j\}$ . Wenn Sie die Möglichkeit dazu zulassen $\lambda$ ist stattdessen der Nachfolger des Supremums der kritischen Sequenz, dann $V_\lambda$ ist nicht einmal ein Modell von $\mathsf{ZFC}$ .

Asaf Karagila · Answer 1

Asaf Karagila

Ersatz schlägt fehl $V_\lambda$ , seit $f(n)=j^n(\kappa)$ ist definierbar und mit Domain $\omega$ , aber es ist kein Set-In $V_\lambda$ .

Also ja, $V_\lambda$ erfüllt "einige Mengenlehre + Auswahl + es gibt einen Reinhardt-Kardinal". Aber es genügt nicht der Mengentheorie, um Kunens Theorem zu beweisen. Insbesondere ist nicht genug Ersatz im Gange $V_\lambda$ damit der Beweis funktioniert.

Andrés E. Caicedo

Der Begriff des Reinhardt-Kardinals ist nur in einer Sprache sinnvoll, in der Ersetzungen für Formeln gelten, die die Einbettung beinhalten, daher denke ich, dass es nicht angebracht ist, dies zu sagen

V_{λ}

$V_\lambda$ erfüllt "es gibt einen Reinhardt-Kardinal". (Auch,

V_{λ}

$V_\lambda$ befriedigt

Z F C

$\mathsf{ZFC}$ , nicht nur "einige Mengenlehre".)

Asaf Karagila

@Andres: Wie bekommt man Ersatz rein

V_{λ}

$V_\lambda$ ?, und genau da ist Reinhardt etwas, das Sie ziemlich brauchen

j

$j$ In Ihrer Sprache, um es überhaupt zu formulieren, zerstört dies den Ersatz in ZFC (j) und ergo "etwas Mengenlehre" und nicht "Mengenlehre". Aber Sie haben Recht, und ich sollte mit Axiomen nicht so unbekümmert sein, wenn die Sprache etwas düster ist.

Andrés E. Caicedo

Z F C

$\mathsf{ZFC}$ ist gerade in formuliert

{\in}

$\{\in\}$ So

j

$j$ spielt hier keine Rolle. Um zu sehen, dass es hält

V_{λ}

$V_\lambda$ , beachten Sie, dass

V_{κ_{0}} ≺ V_{κ_{1}}

$V_{\kappa_0}\prec V_{\kappa_1}$ (von Tarski-Vaught zum Beispiel), und die Elementarität gibt Ihnen das dann tatsächlich

V_{κ_{n}} ≺ V_{κ_{n + 1}}

$V_{\kappa_n}\prec V_{\kappa_{n+1}}$ für alle

n

$n$ , so sind auch sie in ihrer Vereinigung elementar.

Keith Millar

@AsafKaragila Kann nicht jemand Reinhardt in NBG ohne Größenbeschränkung oder eine andere Mengentheorie zweiter Ordnung formulieren?

Arvid Samuelson

@KeithMillar Ja, wie in Kapitel 1 dieses Papiers besprochen .

Sei E(λ)≠∅E(λ)≠∅\mathcal{E}(\lambda)\neq\emptyset. Warum erfüllt VλVλV_\lambda nicht die Existenz eines Reinhardt?

Keith Millar

Andrés E. Caicedo

Asaf Karagila

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Asaf Karagila

Andrés E. Caicedo

Asaf Karagila

Andrés E. Caicedo

Keith Millar

Arvid Samuelson

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