Warum enthält ein Grothendieck-Universum Kardinalitäten aller seiner Elemente?

Question

Warum enthält ein Grothendieck-Universum Kardinalitäten aller seiner Elemente?

Kardinäle
Mengenlehre
Mathematik
große Kardinäle

Jxt921

Lassen $\mathfrak{U}$ ein Grothendieck-Universum sein; das heißt, eine Menge, die die folgenden Eigenschaften erfüllt:

$\forall x,y,$
$j \in X \in U \Rightarrow j \in U;$ $y \in x \in \mathfrak{U} \Rightarrow y \in \mathfrak{U};$
$\forall x,y \in \mathfrak{U}$
${X, j} \in U;$ $\{x,y\} \in \mathfrak{U};$
$\forall x \in \mathfrak{U},$
$P (X) \in U;$ $\mathcal{P}(x) \in \mathfrak{U};$
$\forall I \in \mathfrak{U}, \forall X \subseteq \mathfrak{U}, \forall f\colon I\to X,$
$⋃_{ich \in ICH} F (ich) \in U;$ $\bigcup_{i \in I} f(i) \in \mathfrak{U};$
$\mathbb{N} \in \mathfrak{U}.$

Was ich wissen muss, ist warum, wenn $x \in \mathfrak{U},$ dann unbedingt $|x| \in \mathfrak{U}$ . Generell gilt natürlich nicht, dass if $x \in \mathfrak{U}$ und wenn $|y| = |x|$ , Dann $y \in \mathfrak{U}$ .

Ein weiteres Detail ist, dass ich vermeiden möchte, die Tatsache zu verwenden, dass $\mathfrak{U} = V_\kappa$ für einen unzugänglichen Kardinal $\kappa$ . Wenn es natürlich der einzig vernünftige Weg ist, dann...

Daniel Wainfleet

Was ist die Definition von

N

$\Bbb N$ Hier? Mengentheoretiker identifizieren oft

N

$\Bbb N$ mit der Ordnungszahl

ω .

$\omega.$ Ist das die Def'n hier? (Wenn ja, kann ich eine einfache Antwort geben.) ... Die Def'n eines Grpthendieck-Universums in Wikipedis enthält die Bedingung nicht

N \in U .

$\Bbb N \in U.$

Jxt921

@DanielWainfleet Natürlich,

N := ω

$\mathbb{N} := \omega$ . Soweit die Erfassung der Fälle

\emptyset

$\varnothing$ Und

ω

$\omega$ selbst in der Definition von Grothendieck-Universen, darüber lässt sich streiten, aber ich sehe den Hauptzweck eines Grothendieck-Universums darin, eine Menge bereitzustellen, die ein Modell für alle Axiome von ZFC ist, insbesondere für das Axiom der Unendlichkeit.

\emptyset

$\varnothing$ Und

ω

$\omega$ erfüllt dieses Axiom nicht.

Antworten (3)

Warum enthält ein Grothendieck-Universum Kardinalitäten aller seiner Elemente?

Was ist die Definition von $\Bbb N$ Hier? Mengentheoretiker identifizieren oft $\Bbb N$ mit der Ordnungszahl $\omega.$ Ist das die Def'n hier? (Wenn ja, kann ich eine einfache Antwort geben.) ... Die Def'n eines Grpthendieck-Universums in Wikipedis enthält die Bedingung nicht $\Bbb N \in U.$
@DanielWainfleet Natürlich, $\mathbb{N} := \omega$ . Soweit die Erfassung der Fälle $\varnothing$ Und $\omega$ selbst in der Definition von Grothendieck-Universen, darüber lässt sich streiten, aber ich sehe den Hauptzweck eines Grothendieck-Universums darin, eine Menge bereitzustellen, die ein Modell für alle Axiome von ZFC ist, insbesondere für das Axiom der Unendlichkeit. $\varnothing$ Und $\omega$ erfüllt dieses Axiom nicht.

Daniel Wainfleet · Answer 1

Lassen $U$ ein Grothendieck-Universum sein. $U$ ist eine transitive Menge. Wenn $y$ ist dann eine Ordnungszahl $z\in y\in U\implies z\in U.$ Also der Satz $o(U)$ von Ordnungszahlen in $U$ ist eine Ordnungszahl. $o(U)$ ist die kleinste Ordnungszahl nicht drin $U.$

Für unendlich $x\in U$ lassen $g:x\to |x|$ sei eine Bijektion. Für $y\in x$ lassen $f(y)=g(y)$ Wenn $g(y)<o(U)$ und lass $f(y)=0$ Wenn $g(y)\geq o(U).$ Dann $\cup_{y\in x}f(y)\in U.$

Wenn $|x|\geq o(U)$ Dann $o(U)=\cup_{y\in x}f(y)\in U,$ was absurd ist, weil $o(U)\not \in U.$ Deshalb $|x|<o(U),$ das ist, $|x|\in o(U)\subset U.$

Natürlich für eine Endlichkeit $x\in U$ wir haben $|x|\in \Bbb N\subset o(U)\subset U.$

$Remarks.$ Das können wir auch sehen $o(U)$ ist streng unzugänglich: Wenn $cf(o(U))<o(U)$ Dann $cf(o(U))\in U$ aber dann gibt es $f:cf(o(U))\to o(U)\subset U$ mit $o(U)=\cup_{x\in o(U)}f(x)\in U,$ was absurd ist. So $o(U)$ muss regelmäßig sein. Und wenn $y< o(U)$ dann (unter Verwendung des Ergebnisses Ihres Q), $y\in U$ So $P(y)\in U$ So $2^y=|P(y)|\in U$ So $2^y <o(U)$ . So $o(U)$ ist eine starke Grenze.

Lieber Daniel, könntest du bitte erläutern, warum wir das haben $o(U) = \bigcup_{y \in x} f(y)$ Wenn $|X| \geq o(U)$ ? Es ist klar, dass $\bigcup_{y \in x} f(y) \subseteq o(U)$ , aber bei der Umkehrung bin ich mir nicht sicher.
Wenn $|x|\geq o(U$ ) Dann $| x|\supset o(U) .$ Und $g:x\to |x|$ ist eine Surjektion also $\{g(y): y\in x\}\supset o(U).$ ..... Dann $\cup (\;\{f(y):y\in x\}\;)=$ $\cup (\{g(y):y\in x\}\cap o(U)\;)=$ $\;\cup (\;|x|\cap o(U)\;)=$ $\cup o(U)= o(U).$ ...... Übrigens $o(U)$ kann keine Nachfolgeordnungszahl sein (...so $\cup o(U)=o(U)$ ...) weil wenn $y\in o(U)$ Dann $\{y\}\in U,$ also lass $h(0)=y$ Und $h(1)=\{y\}.$ Dann $y+1=y\cup \{y\}=\cup \{h(0),h(1)\}\in U .$

Daniel Schepler · Answer 2

Korrigieren Sie eine gute Ordnung der Menge $X$ . Dann durch Induktion über diese Wohlordnung für jeden $x \in X$ , die Ordnungszahl $\operatorname{rank}(x)$ korrespondierend zu $\{ y \in X : y < x \}$ ist in $\mathfrak{U}$ . In der Tat, $\operatorname{rank}(x) = \bigcup_{y < x} (\operatorname{rank}(y) \cup \{ \operatorname{rank}(y) \})$ . Nun entspricht die Ordnungszahl dem Auftragstyp von $X$ Ist $\operatorname{OT}(X) = \bigcup_{x \in X} (\operatorname{rank}(x) \cup \{ \operatorname{rank}(x) \}) \in \mathfrak{U}$ Auch.

Jetzt auch nicht $|X| \in \operatorname{OT}(X)$ , oder $|X| = \operatorname{OT}(X)$ , und in beiden Fällen können wir schließen $|X| \in \mathfrak{U}$ .

Pseudozydonie · Answer 3

(Dies ist vielleicht nicht der sauberste Weg, dies zu tun, meine Kardinalarithmetik ist ein wenig eingerostet.)

Sie können die indizierte Union verwenden. Seit $\mathbb{N}$ ist im Universum (das wir mit dem Kardinal identifizieren $\aleph_0$ ), Such dir irgendeine aus $I$ im Universum, und definieren Sie die Funktion $f(i)=\aleph_0 \times \{i\}$ . (Hier nutzen wir die Tatsache aus, dass wenn $i\in I$ Dann $i$ muss auch im Universum sein.) Also

⋃_{ich \in ICH} ℵ_{0} \times {ich} := \sum_{ich \in ICH} ℵ_{0} = max {| ICH |, ℵ_{0}} \in U .

$\bigcup_{i\in I}\aleph_0 \times \{i\}:= \sum_{i \in I} \aleph_0 = \max\{|I|,\aleph_0\} \in \mathfrak{U}.$

Ich denke, um dies durchzubringen, müssen Sie auch beweisen, dass Grothendieck-Universen unter dem kartesischen Produkt geschlossen sind, was eine ziemlich einfache Übung ist.

(Bearbeiten: alle Kardinäle kleiner als $\aleph_0$ sind bereits im Universum, durch das Axiom, das das Universum unter Set Containment schließt.)

So wie geschrieben stimmt das nicht. Sie haben nur gezeigt, dass es eine Menge von Kardinalitäten gibt $I$ In $\mathfrak{U}$ - nicht dass die Kardinalität von $I$ selbst (das ist die eindeutige anfängliche Ordinalzahl in Bijektion zu $I$ ) ist in $\mathfrak U$ . Um das zu tun, denke ich, ist es am einfachsten, das zu beweisen $\mathfrak U = V_{\kappa}$ Wo $\kappa = \operatorname{card}(\mathfrak{U})$ ist unzugänglich.

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