Kardinalität aller reellen Folgen

Identifizieren$\mathbb R$als Funktionsmenge$f : \mathbb N \to \{ 0,1\}$.

Dann irgendeine Folge$\{ x_n \}$wird eine Folge$\{f_n \}_n$Wo$f_n : \mathbb N \to \{ 0,1\}$. Das ist dann aber einfach eine Funktion$g : \mathbb N \times \mathbb N \to \{ 0,1\}$:

Auf diese Weise können Sie eine Bijektion von den Folgen reeller Zahlen zu der Menge von Funktionen konstruieren$\mathbb N \times \mathbb N \to \{ 0,1\}$. Nun, da$\mathbb N \times \mathbb N$Und$\mathbb N$die gleiche Kardinalität haben, erhält man eine Bijektion von den Folgen der reellen Zahlen zur Menge der Funktionen aus$\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \{ 0,1\}$, was gerecht ist$\mathbb R$.

Sie haben um eine Erklärung in "einfachen Worten" gebeten, warum dies geschieht, was meiner Meinung nach eine intuitive Erklärung anstelle eines formalen Beweises bedeutet, also werde ich das geben.

Konzentrieren Sie sich auf Zahlen zwischen$0$Und$1$. Eine solche Zahl wird durch eine zählbare Menge an Informationen bestimmt, nämlich die Ziffern in ihrer Dezimalerweiterung. Also eine Zahlenfolge dazwischen$0$Und$1$wird durch eine zählbare Menge zählbarer Informationen bestimmt. Aber die zählbare Vereinigung von zählbaren Mengen ist zählbar, also kann diese zählbare Menge an zählbarer Information wiederum durch eine zählbare Menge an Information ausgedrückt werden, nämlich eine zählbare Anzahl von Stellen. Dies kann dann verwendet werden, um eine einzelne reelle Zahl dazwischen zu definieren$0$Und$1$die die ursprüngliche Sequenz codiert.

Diese Idee kann verwendet werden, um einen formalen Beweis zu führen. Zu Ihrer Frage zu Funktionen, was wissen Sie über die Menge der Funktionen aus$\mathbb R$Zu$\{0,1\}$?

Es hängt davon ab, ob Sie von endlichen Folgen, unendlichen Folgen oder "unzählbaren Folgen" sprechen. Hier ist ein Versuch, Ihnen ein wenig Intuition für das mathematische Gebiet zu vermitteln:

Wenn Sie über die Menge aller endlichen reellen Folgen sprechen, dann haben wir das folgende Argument: for any$n$, die Kardinalität von$\mathbb{R}^n$ist dasselbe wie die Kardinalität von$\mathbb{R}$(was ich anrufen werde$c$zur Bequemlichkeit). Somit ist die Menge der endlichen Folgen einer gegebenen Länge eine Menge der Kardinalität$c$. Die Kardinalität der willkürlichen Vereinigung von Kardinalitätsmengen$c$gibt Ihnen einen anderen Satz von Kardinalitäten$c$. Die Menge aller endlichen Folgen ist also kardinal$c$. Das gleiche Argument kann in Bezug auf gemacht werden$\mathbb{Q}$(die Kardinalität hat$\aleph_0$)

Die Kardinalität unendlicher Folgen ist jedoch eine andere Geschichte. Cantors Argument sagt uns das für jede Menge$S$, wir haben$\left| \wp(S) \right|>\left| S \right|$. Für jede Teilmenge der rationalen Zahlen gibt es eine entsprechende Folge in$\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$. Andererseits sind reelle Zahlen nicht abzählbar, sodass keine unendliche Folge alle Elemente enthalten wird. Also, wie es endet,$\left| \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \right| =\left| \mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \right|= c$

Schließlich haben wir die „unzählbaren Folgen“, also die Menge der Funktionen, aus$\mathbb{R}$Zu$\mathbb{R}$, die eine größere Kardinalität hat. Hier können wir das vorherige Argument wie folgt verwenden: für jede Teilmenge$S \subseteq \mathbb{R}$, können wir abbilden$S$zu einer Funktion$f(x)$wofür$f(x)=0$für alle$x\in S$. Damit erhalten wir eine injektive Abbildung aus$\wp(\mathbb{R})$zur Menge der Funktionen von$\mathbb{R}$zu sich selbst. Damit nimmt die Mächtigkeit der Menge der Funktionen ab$\mathbb{R}$Zu$\mathbb{R}$ist größer als$c$.

Ein nettes Stück Kardinalarithmetik, das Sie in Ihrem Arsenal haben sollten: für transfinite Mengen$P$Und$Q$:

Lassen$k,m$unendliche Kardinäle sein. Dann

Hier habe ich das Axiom der Wahl in der zweiten Gleichheit verwendet. Der$\max$dort verursacht die nicht strenge Monotonie, die Sie überrascht hat.

Einfach gesagt, unsere zahlensinnige Intuition stammt aus dem Umgang mit endlichen Mengen und hat sehr wenig Wert, wenn es um unendliche Mengen geht. Aus diesem Grund kann eine Menge die gleiche Kardinalität haben wie eine echte Teilmenge, und warum$B^\mathbb{N}$kann die gleiche Kardinalität haben wie$A^\mathbb{N}$selbst wenn das eine eine echte Teilmenge des anderen ist.