Die Anzahl der Teilmengen der Kardinalität kleiner als κκ\kappa einer Kardinalzahl κκ\kappa ist κκ\kappa

Lassen L = ⋃ a ∈ Ö R D L a sei Gödels konstruierbares Universum und damit L ⊨ G C H . Lassen κ sei ein unendlicher Kardinal und S := { A ⊆ κ : # A < κ } . Ist es wahr dass L ⊨ # S = κ ? ( # S ≥ κ trivial.)

Meine Begründung: Angenommen v = L , wir haben A ∈ L κ ⟺ A eingegrenzt κ (dh ∃ β < κ . A ⊆ β ). Wenn A ⊆ κ , # A < κ und die Kofinalität C F ( κ ) = κ , Dann A muss begrenzt werden. Somit A ∈ L κ , Aber # L κ = κ und so # S = κ Wenn κ ist ein regulärer Kardinal.

Wenn κ = ℵ 1 dann sicher # S ≥ 2 ℵ 0 , die sein kann > κ .
Der wahre Kommentar oben bezieht sich auf die ursprüngliche Frage, bei der ich die Annahme nicht aufgenommen habe G C H .

Antworten (2)

Das ist nicht wahr, selbst wenn man davon ausgeht G C H , es sei denn, wir fügen das hinzu κ ist regelmäßig .

Wenn κ regelmäßig ist (und vorausgesetzt G C H natürlich) haben wir das 2 < κ = κ , und dann folgt aus diesem Argument das Ergebnis.

Wenn κ ist Einzahl, z vgl ⁡ ( κ ) = λ < κ , dann gibt es κ λ Teilmengen der Größe λ , aber der Satz von Koenig sagt uns das κ < κ λ .

Nicht unbedingt. Lassen κ ein Nachfolger sein und λ sei der vorhergehende Kardinal κ . κ hat eine Teilmenge der Größe λ , was hat 2 λ Teilmengen der Größe < κ . Wir wissen, dass das konsequent ist 2 λ > κ

Ich habe vergessen zu erwähnen, dass ich in Gödels Constructible arbeite L und daher 2 λ = λ + = κ .
Die Anzahl der Teilmengen der Kardinalität kleiner als κκ\kappa einer Kardinalzahl κκ\kappa ist κκ\kappa
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