Kardinalarithmetik versus Ordinalarithmetik

Der Grund ist, dass die Definitionen von Ordinalarithmetik und Kardinalarithmetik sehr unterschiedlich sind.

Während es bei den ordinalen Rechenoperationen um Ordnungstypen geht, befasst sich die kardinale Arithmetik mit bestimmten Mengen.

Zum Beispiel,$\alpha+\beta$als Ordnungszahlen ist die Auftragsart von$\alpha$verkettet mit$\beta$. Während die Kardinalität jede mögliche Struktur entblößt und die Kardinalität der Menge berücksichtigt$\{0\}\times\alpha\cup\{1\}\times\beta$, was dem Maximum von entspricht$|\alpha|$Und$|\beta|$(Zugegeben, man ist unendlich).

Die Potenzierung, die am merkwürdigsten ist, wird wiederum ganz anders als Ordnungszahlen und Kardinalzahlen definiert.

• Bei Kardinälen$\alpha^\beta$ist die Mächtigkeit der Menge aller Funktionen aus$\beta$Zu$\alpha$.

• Bei den Ordnungszahlen achten wir auf die Reihenfolge, also$\alpha^\beta$ist der Ordnungstyp der umgekehrten lexikographischen Ordnung der Funktionen aus$\beta$hinein$\alpha$die nur in endlich vielen Koordinaten ungleich Null sind.

  Äquivalent und vielleicht klarer können wir dies durch Induktion definieren,$\alpha^0=1$,$\alpha^{\beta+1}=\alpha^\beta\cdot\alpha$, und für eine Grenzordnungszahl$\delta$,$\alpha^\delta=\sup\{\alpha^\beta\mid\beta<\delta\}$.

  Jetzt sehen wir das leicht$2^\omega=\omega$wenn wir über ordinale Potenzierung sprechen.$2^\omega$ist die Grenze von$2^n$für endlich$n$, Aber$2^n$hat einen endlichen Ordnungstyp, und es ist eine streng ansteigende Folge. Der Grenzwert einer streng steigenden Folge endlicher Ordnungszahlen ist$\omega$selbst.

Nun, es klingt seltsam, nicht wahr? Aber es ist nicht wirklich seltsam. Wir haben diese Art von Phänomen in anderen - vertrauteren - arithmetischen Systemen.

In den natürlichen Zahlen$n\cdot m$kann als wiederholte Zugabe von definiert werden$n$,$m$mal. Die Addition selbst kann als wiederholte Folgeoperation definiert werden. Andererseits, wenn wir die reellen Zahlen betrachten$\sqrt2\cdot\sqrt2$kann nicht als wiederholte Addition gedacht werden. Was bedeutet es überhaupt, etwas hinzuzufügen$\sqrt2$mal? Es stimmt, dass in diesem Fall, wenn wir uns auf die natürlichen Zahlen beschränken, die Operationen zu einer wiederholten Anwendung der "vorherigen Operation" werden, aber das liegt an der Natur der natürlichen Zahlen als Eckpfeiler der modernen Mathematik (in vielen viele Möglichkeiten). Für unendliche und weniger eckige Stoney ist dies nicht der Fall, wie es in Ordinalzahlen und Kardinalzahlen gezeigt wird.

Nun, um ehrlich zu sein, die Unterscheidung zwischen$2^\omega$Und$2^{\aleph_0}$ist seltsamer, da wir eine ganz natürliche Verbindung zwischen haben$\omega$Und$\aleph_0$, während wir das zwischen keiner natürlichen Zahl und haben$\sqrt2$.

Im ersteren Fall werden zwei homomorphe Strukturen verwendet, wobei Kardinalitäten leicht isomorph in Ordnungszahlen eingebettet werden können, und der exakt gleiche syntaktische Operator, was zu nicht isomorphen Ergebnissen führt. Das ist wirklich seltsam.

HINWEIS : Dies war als Kommentar zu der sehr netten Antwort oben gedacht, nicht zur ursprünglichen Frage. Verzeihung.