Können echte Klassen auch Kardinalität haben?

Zwei Sätze $A$Und$B$genau dann dieselbe Kardinalität haben, wenn es eine bijektive Funktion gibt$f : A \to B$. Wenn wir die Funktion identifizieren$f$mit seiner Grafik$F = \{ \langle x, y \rangle \in A \times B\, :\, f(x)=y \}$dann können wir dies umformulieren, um das zu sagen$|A|=|B|$genau dann, wenn es eine Menge gibt$F$so dass

• $\forall x \forall y \forall y' (\langle x,y \rangle \in F \wedge \langle x, y' \rangle \in F \to y=y')$
• $\forall x \forall y (\langle x,y \rangle \in F \to x \in A \wedge y \in B)$
• $\forall x (x \in A \to \exists! y(\langle x,y \rangle \in F))$
• $\forall y (y \in B \to \exists! x(\langle x,y \rangle \in F))$

Die ersten beiden davon sagen Ihnen das$f$ist eine wohldefinierte Funktion$A \to B$(oder besser gesagt das$F$ist der Graph einer wohldefinierten Funktion$A \to B$), der dritte gibt Ihnen Injektivität und der vierte gibt Ihnen Surjektivität.

Wenn$A = \{ x:\phi \}$Und$B = \{ y:\psi \}$sind Klassen, wo$\phi,\psi$sind also unäre Prädikate$x \in A$wirklich nur bedeutet$\phi(x)$Und$y \in B$wirklich nur bedeutet$\psi(y)$. Ich denke, Sie könnten die obigen Definitionen so übersetzen, dass sie sich auf Klassen statt auf Mengen beziehen. Genauer gesagt$|A|=|B|$genau dann, wenn es ein binäres Prädikat gibt$F$so dass

• $\forall x \forall y \forall y' (F(x,y) \wedge F(x,y') \to y=y')$
• $\forall x \forall y (F(x,y) \to \phi(x) \wedge \psi(y))$
• $\forall x (\phi(x) \to \exists! y F(x,y))$
• $\forall y (\psi(y) \to \exists! x F(x,y))$

Beachten Sie, dass dieser Begriff von Klassen, die „die gleiche Kardinalität haben“, mit dem von Mengen übereinstimmt, wenn wir uns auf den Fall beschränken, wo$A$Und$B$sind wirklich Sätze. Anders als bei Mengen wird dies jedoch durch Quantifizierung über Formeln formuliert, wir müssen also in der Metatheorie arbeiten.

Beachten Sie auch, dass dies eine Definition von „mit derselben Kardinalität“ ist, keine Definition von „Kardinalität“; Einen guten Begriff für Letzteres zu finden, könnte ziemlich schwierig sein.

Haftungsausschluss: Es besteht die Möglichkeit, dass mir gesagt wird, dass dies eine Menge Müll ist. Und in der Tat könnte es sein, dass ZFC seltsame Dinge mit Klassen macht. Aber es scheint eine der möglichen „natürlichen“ Erweiterungen des Begriffs der Bijektion von Mengen auf beliebige Klassen zu sein.

Es ist absolut kein Problem, die Definition einer Kardinalzahl auf Klassen auszudehnen, außer dass wir innerhalb des Universums nicht über Kardinalzahlen von Klassen streiten können, wie wir es bei Mengen tun. Jedes Argument der Form "Alle Klassen so, dass ..." wäre ein Meta-Argument. Natürlich kann man eine stärkere Mengenlehre verwenden, die Klassen zulässt, aber das ist eine etwas andere Geschichte.

Abgesehen von dem obigen Punkt ist es nicht sehr schwierig, den Satz von Cantor-Bernstein für Klassen zu beweisen (dh die Existenz von zwei Injektionen impliziert die Existenz einer Bijektion). Und so können wir wirklich fragen, ob es eine Klassenfunktion mit solchen und solchen Eigenschaften (injektiv, bijektiv usw.)

Es ist wichtig anzumerken, dass es ebenso wie beim Entfernen des Auswahlaxioms möglich ist, dass es Surjektionen gibt, die nicht rückgängig gemacht werden können, ohne globale Auswahl Klassensurjektionen haben können, die keine inverse Injektion haben. Es ist also wichtig, sich an die Definition von Injektionen zu halten, denn diese Definition funktioniert ohne Wahlmöglichkeiten.