Definieren der Kardinalität in Ermangelung einer Wahlmöglichkeit

Die Idee hinter Scotts Trick, die Äquivalenzklassen in ziemlich komplizierte Mengen umzuwandeln, besteht lediglich darin, es zu ermöglichen, mit der partiellen Ordnung der Kardinalitäten innerhalb der Theorie problemlos zu arbeiten.

In Gegenwart von AC können wir immer ein kanonisches Beispiel für jede Kardinalität auswählen, nämlich die anfängliche Ordnungszahl der Äquivalenzklasse.

Es steht im Einklang mit ZF, dass es keine Wahlmöglichkeit für kanonische Vertreter gibt. Es gibt nämlich keine definierbare Klassenfunktion$C$so dass für alle$X\in V$:

1. $C(X)=C(Y)\iff |X|=|Y|$;
2. $|C(X)|=|X|$

Diese Art von$C$existiert natürlich mit dem Axiom der Wahl, wie ich oben erwähnt habe. Es scheint, dass wir diese Existenz für etwas Selbstverständliches halten.

Mit oder ohne Wahlaxiom können wir betrachten$|X|$wie in Scotts Trick, nämlich die gleichen Sätze mit dem geringstmöglichen Rang zu nehmen. Mit dem Auswahlaxiom können wir jedoch festlegen$C(X)=\min\{a\in Ord\mid |X|=|a|\}$, und einfach annehmen$|X|=C(X)$.

Der Punkt ist, dass wir diesen Luxus ohne das Wahlaxiom einfach nicht haben können und uns darauf beschränken müssen, diese komplizierten Mengen von Kardinalitäten zu handhaben. Dies ist nur ein Grund mehr, warum die Kardinalarithmetik so schwer wird, wenn man das Wahlaxiom hinter sich lässt.

Wenn kanonische Repräsentanten nicht garantiert sind, wird die Verwendung von Scotts Trick beim Schreiben von Sätzen über Kardinalitäten unerlässlich.

Vermuten$A$ist amorph (d$B\subseteq A$impliziert$B$ist endlich bzw$A\setminus B$ist endlich).

Ich möchte beschreiben$(\{|Y|\colon Y\subseteq A\},<)$. Mit Scotts Trick ist dies einfach zu bewerkstelligen$Y\mapsto |Y|$eine definierbare Funktion ist, ist der Definitionsbereich dieser teilweise geordneten Menge gut definierbar$A$.

Wenn ich jedoch den ersten Ansatz verwende, muss ich mich fragen, was die Domäne der Kardinalitäten von Teilmengen von ist$A$? bei diesem Ansatz$|A|$ist ein syntaktisches Objekt, nicht semantisch.

Ich kann beschreiben, dass dies eine linear geordnete Menge ist (dh alle zwei Teilmengen von$A$haben vergleichbare Kardinalitäten), aber kann ich beweisen, dass diese Menge genau ist$\omega+\omega^*$? (das heißt, eine lineare Ordnung, in der jeder Punkt entweder endlich viele Punkte darüber oder endlich viele Punkte darunter hat; aber nicht beides) Nein, das kann ich nicht.

Das ist weil$B_X=\{|B|\colon |B|<|X|\}$kann innerhalb des Modells nicht einheitlich beschrieben werden, und daher können wir seine Größe nicht einheitlich ( d. h. als Funktion) beschreiben$X\mapsto |B_X|$).

Wie Andres die Hauptfrage kommentierte, ist dies in vielen Fällen kein großes Problem. Das ist der Hauptgrund, warum dieses „Beispiel“ etwas künstlich wirkt. Es hilft jedoch, wenn Sie eine gute Möglichkeit haben, Kardinalitäten in den Zeiten zu definieren, in denen Sie sie tatsächlich benötigen.

Ich sollte erwähnen, dass Ordnungszahlen immer wohlgeordnet sind und daher von an$\aleph$-Zahl Art der Kardinalität und so$C$kann für die Klasse der gut geordneten Mengen definiert werden. Die Sache ist die, dass wir ohne das Wahlaxiom einfach dazu neigen, Mengen zu haben, die ohne Wahlmöglichkeit nicht mit Ordinalzahlen bijeziert werden können.

Für weitere Informationen: T. Jech, The Axiom of Choice Kap. 11

Hinzugefügte Anmerkung: Scotts Trick nutzt stark das Axiom der Regelmäßigkeit (auch: Axiom der Grundlage), und mir ist kein sauberer Weg zum Definieren von Kardinalitäten mit dem Fehlen sowohl der Regelmäßigkeit als auch der Auswahl (oder sogar nur mit dem ersteren) bekannt abwesend).

Ein weiterer wichtiger Hinweis ist, dass Scotts Trick nicht nur nützlich ist, um Kardinalitäten zu definieren, wenn es keine Auswahl gibt, sondern auch, um andere äquivalente Beziehungen über Klassen zu definieren. Dinge wie zum Beispiel Ultraprodukte des Universums verlassen sich stark auf diese Konstruktion.

Erlauben Sie mir, der Behauptung in der Frage zu widersprechen, dass „wir sehr unnatürliche Kardinäle bekommen“, wenn wir Scotts Trick anwenden. Ich denke, Scotts Trick bringt uns dem natürlichsten Begriff der Kardinalzahl, nämlich Freges Begriff, näher als die Definition der "anfänglichen Ordinalzahl". Freges Idee war, dass Abstraktionen wie die Kardinalität (bei der wir von den einzelnen Elementen einer Menge abstrahieren und uns nur darum kümmern, wie viele es gibt) durch Äquivalenzklassen gegeben werden sollten. Für Frege also die Zahl$3$ist die Sammlung von allem$3$-Elementmengen. [Beachten Sie, dass dies nicht kreisförmig ist; man kann definieren "$3$-element set", ohne diese Zahl vorauszusetzen$3$.] Dies ist die einfachste mathematische Entität, die allen gemeinsam ist$3$-Elementmengen. Freges Ansatz stößt in den üblichen Mengentheorien (wie ZF) auf Schwierigkeiten, weil die Sammlung aller$3$-element sets ist keine Menge, sondern eine richtige Klasse. Scotts Trick soll eine minimale Optimierung von Freges Idee sein, eine Menge zu produzieren. (In einigen anderen Mengentheorien wie New Foundations sind Kardinäle im Sinne von Frege Mengen, und ich glaube, dies ist die bevorzugte Definition von Kardinalzahlen in solchen Theorien.) Beachten Sie auch, dass Freges Ansatz, ergänzt durch Scotts Trick, auf alle angewendet werden kann Äquivalenz-„Beziehung“ zum Universum der Mengen, nicht nur zur Beziehung des Seins in Eins-zu-Eins-Korrespondenz. (Die Anführungszeichen um "Beziehung" sind, weil es sich um eine richtige Klasse geordneter Paare und nicht um eine Menge handelt.)

Wie in der Antwort von Andreas Blass ausgeführt, sind Scotts Kardinäle nicht so unnatürlich (und eine große Ordnungszahl ist auch ein kompliziertes Objekt). Selbst mit dem Axiom of Choice macht die anfängliche Ordinaldefinition die Kardinal- und Ordinalarithmetik verwirrend. Zum Beispiel,$2^\omega = \omega < \omega^2$, Aber$2^{\aleph_0} > \aleph_0 = \aleph_0^2$. Somit besteht ein Vorteil darin sicherzustellen, dass transfinite Kardinalzahlen keine Ordnungszahlen sind.

Die Frage weist auf ein ernstes Problem mit Scotts Kardinälen hin: seines$0$ist die Ordnungszahl$1$, was verwirrend ist. Da endliche Ordinalzahlen und endliche Kardinalzahlen die gleiche Arithmetik haben, schlage ich vor, dass wir (mit oder ohne AC) Scotts Trick auf transfinite Mengen anwenden und die Kardinalzahl einer endlichen (dh Dedekind-endlichen und gut geordneten) Menge als die entsprechende Ordnungszahl definieren Nummer.