Wo ist das Axiom der Wahl, das in Rudins Beweis verwendet wird, dass „die zählbare Vereinigung zählbarer Mengen zählbar ist“?

Baby Rudin beweist, dass die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen abzählbar ist. Beim Lesen anderer Online-Beweise muss das Axiom der Wahl herangezogen werden; Ich sehe jedoch nicht sofort, wo das hier verwendet wird.

Satz 2.12. Lassen { E N } , N = 1 , 2 , . . . eine Folge von abzählbaren Mengen sein, und put S = ⋃ N = 1 ∞ E N . Dann ist S abzählbar.

Nachweisen. Lassen Sie jeden Satz E N in einer Reihenfolge angeordnet werden { X N k } , k = 1 , 2 , 3 , … , und betrachten Sie das unendliche Array

IMG

in denen die Elemente von E N bilde die N Wurf. Das Array enthält alle Elemente von S. Wie durch die Pfeile angedeutet, können diese Elemente in einer Reihenfolge angeordnet werden

( 17 )       X 11 ; X 21 , X 12 ; X 31 , X 22 , X 13 ; X 41 , X 32 ; …
Wenn irgendwelche zwei der Sätze E N Elemente gemeinsam haben, werden diese mehr als einmal in (17) vorkommen. Daher gibt es eine Teilmenge T der Menge aller positiven ganzen Zahlen, so dass S ∼ T , was das zeigt S ist höchstens zählbar. Seit E 1 ⊂ S , Und E 1 ist unendlich, S ist unendlich und damit abzählbar.

Nimmt die Elemente von jedem "aus". E N und sie in einer Sequenz anordnen rufen AC auf? Das scheint nicht richtig zu sein, seitdem scheint es wie der Klassiker " Q ist zählbar"-Argument würde ebenfalls eine Auswahl hervorrufen. Ist AC in dem "es gibt eine Teilmenge T der Menge aller positiven ganzen Zahlen, so dass S ∼ T , was das zeigt S ist höchstens zählbarer" Teil?

Vielen Dank. Jede Hilfe / Einsicht wäre wirklich dankbar.

"der Klassiker " Q ist zählbar "Argument würde auch Auswahl hervorrufen" - normalerweise weisen Sie eine bestimmte Aufzählung von auf Q dies zu argumentieren. Sie sagen nicht: „Die Brüche mit Nenner 1 sind zählbar, ebenso die mit Nenner 2 und so weiter für jeden Nenner N ". Aber wenn Sie das nur sagen würden, würden Sie genau im selben Boot sitzen und das Axiom der (zählbaren) Wahl benötigen.

Antworten (2)

Ja, Sie brauchen eine Auswahl, um für jede der Sequenzen eine bestimmte Sequenz auszuwählen E N s -- denken Sie daran, dass alles, was Sie für diesen Beweis über sie wissen, ist, dass mindestens eine Sequenz existiert; dies lässt die Möglichkeit offen, dass es viele Sequenzen geben wird und es keinen prinzipiellen Weg gibt, eine davon auszuwählen.

Sie gehen davon aus, dass es eine Möglichkeit gibt, dies zu arrangieren E N hintereinander, sondern was man braucht, um eine Bijektion zu konstruieren F : N → S ist, dass Sie die gleiche Aufzählung von verwenden E 1 wenn du definierst F ( 1 ) wie wenn du definierst F ( 3 ) , F ( 6 ) , F ( 10 ) , usw. Ebenso müssen Sie dieselbe Enumeration von verwenden E N jedes Mal, wenn Sie eine Zahl daraus auswählen. Es erinnert sich an eine bestimmte Wahl der Reihenfolge für jede der unendlich vielen E N Das erfordert, dass Sie diese Entscheidungen in ein einziges mathematisches Objekt packen, und dann brauchen Sie das Axiom of Choice, um sicherzustellen, dass ein solches Objekt existiert.

Sie werden nicht auf dieses Problem stoßen, wenn Sie das zeigen Q ist abzählbar, weil Sie dort genug über die Mengen wissen, dass Sie eine bestimmte Sequenz angeben können, die in jedem Fall verwendet werden soll, und daher keine willkürliche Auswahl treffen müssen.

Anzeigen Q ist zählbar erfordert kein AC. Um zu zeigen, dass eine abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen abzählbar ist, ist irgendeine Form von AC erforderlich.

Ja, AC wird gleich am Anfang verwendet, wo er sagt, lass jedes Element der Sequenz usw.

Sprichwort E 1 ist zählbar sagt, dass die Elemente von E 1 können in einer Reihenfolge angeordnet werden. Es gibt viele Möglichkeiten, dies zu tun; wir müssen uns für eine entscheiden. Wir müssen uns auch für eine entscheiden E 2 und eine für E 3 ... wir haben unendlich viele "Entscheidungen" zu treffen.

Das beweisen N zählbar ist, erfordert keine solchen "Auswahlen", weil, sagen wir, die Elemente der Form ( 1 , M ) sind für uns bereits in einer Reihenfolge angeordnet.

Aber wenn die Elemente von E nicht in einer Reihenfolge angeordnet werden können, kann E dann abzählbar sein?
@martycohen: Ja, natürlich können sie in einer Reihenfolge angeordnet werden. Das Problem ist, dass es viele Möglichkeiten gibt , dies zu tun und eine Sequenz zu erhalten ⋃ E N , müssen Sie sicher sein, dass Sie dieselbe Sequenz für verwenden E 1 wenn du definierst F ( 1 ) so wie du es definiert hast F ( 3 ) , F ( 6 ) , F ( 10 ) , und ähnlich für jede der anderen Zeilen. Es erinnert sich an eine bestimmte Wahl der Reihenfolge für jede der unendlich vielen E N Das erfordert, dass Sie diese Entscheidungen in eine Menge packen, und dann brauchen Sie das Axiom of Choice, um sicherzustellen, dass diese Menge existiert.
@marty: Denken Sie daran, dass das Axiom der Wahl (äquivalent zu) "das kartesische Produkt nicht leerer Mengen ist nicht leer" ist. In diesem Fall haben wir die Menge der Aufzählungen von E 1 (nennen P 1 ), die Menge der Aufzählungen von E 2 , usw. und jedes Element des Produkts dieser zählbar vielen P ich indexiert mit N , führt zu einer Aufzählung von E und wir sind fertig. Was wir also brauchen, ist die "offensichtliche" (daher ein akzeptables Axiom, zumindest hofft man das ...) "Tatsache", dass das unendliche Produkt dieser P ich Sätze ist nicht leer.
Wo ist das Axiom der Wahl, das in Rudins Beweis verwendet wird, dass „die zählbare Vereinigung zählbarer Mengen zählbar ist“?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v