Zusammenhang zwischen den vielen verschiedenen Definitionen des Axiom of Choice

($X$Und$I$werden durchgehend Mengen bezeichnen.)
Wahrscheinlich sind Sie ans Interpretieren gewöhnt$X^{n}$als Satz von$n$-Tupel$(x_{1}, \ldots, x_{n})$so dass jeder$x_{i}$ist in$X$.

Eine äquivalente Art, dies zu interpretieren, ist jedoch die Menge aller Funktionen$\{1, \ldots, n\} \to X$. In der Tat,$(x_{1}, \ldots, x_{n}) \in X^{n}$entspricht der Funktion$i \mapsto x_{i}$, während eine Funktion$f : \{1, \ldots, n\} \to X$entspricht dem Tupel$(f(1), \ldots, f(n))$.

Im Allgemeinen gegebene Sätze$X_{1}, \ldots, X_{n}$, kannst du interpretieren$X_{1} \times \cdots \times X_{n}$entweder als Menge von$n$-Tupel oder als Satz von Funktionen$\{1, \ldots, n\} \to \bigcup_{i = 1}^{n} X_{i}$so dass$f(i) \in X_{i}$für alle$i \in I := \{1, \ldots, n\}$.

Aber genau das ist eine Auswahlfunktion für die Sammlung$\{X_{1}, \ldots, X_{n}\} = \{X_{i} : i \in I\}$.

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Sobald Sie das Obige an Ort und Stelle haben, ist es leicht zu sehen, wie man ein willkürliches Produkt von Mengen definieren würde. In der Tat, lassen Sie$\{X_{i} : i \in I\}$eine Sammlung von Mengen sein, wo$I$willkürlich ist (nehmen wir an, dass es nicht leer ist). Dann definiert man

$$\prod_{i \in I} X_{i} := \left.\left\{f : I \to \bigcup_{i \in I} X_{i} \;\right\vert f(i) \in X_{i} \text{ for all } i \in I\right\}.$$ Mit anderen Worten,$\prod_{i \in I} X_{i}$ist genau die Menge aller Wahlfunktionen. Es sollte nun klar sein, wie die beiden Versionen der Wahl äquivalent sind (dies ist eigentlich eine Äquivalenz per Definition, nicht durch irgendeine mathematische Arbeit).

Die Motivation hinter der Formulierung von AC mit Auswahlfunktionen ist die folgende: Wenn wir eine gut definierte Sammlung haben$C$aus nicht leeren Mengen gibt es eine Möglichkeit, genau ein Mitglied herauszupicken$C$so dass die resultierende Sammlung eine Menge ist. Russells Beispiel über Socken ist nur eine nette Art, dies zu verdeutlichen.

Die gleiche Idee liegt der Version von AC zugrunde, die sich auf Produkte bezieht: Bei einer nicht leeren Familie von nicht leeren Mengen gibt es eine Funktion, die jeden Index sendet$i$auf genau ein Mitglied des Satzes indexiert durch$i$. Diese Funktion wählt ein Mitglied jeder nicht leeren Menge aus der Familie aus, sodass die resultierende Sammlung eine Menge ist.

Dass beide Versionen von AC gleichwertig sind, ist im Kontext von ZF unmittelbar ersichtlich: Gehen Sie von der Wahlfunktionsformulierung aus und betrachten Sie das Produkt$\Pi _{i \in I} X_i$für eine Familie$(X_i)_{i \in I}$mit$I \not = \emptyset$Und$X_i \not = \emptyset$. Lassen$g$sei eine Auswahlfunktion für die Menge der$X_i$und definieren$f$von$f(i) = g(X_i)$, für jeden$i \in I$. Dann$f \in \Pi _{i \in I} X_i$. Nehmen Sie umgekehrt die Produktversion von AC an und betrachten Sie eine nicht leere Menge$X$von nicht leeren Mengen. Wenn wir lassen$I = X$, die Identitätskarte auf$I$ist eine nichtleere Familie von nichtleeren Mengen$(X_i)_{i \in I}$. Es gibt also einige$f \in \Pi _{i \in I} X_i$, was eine Auswahlfunktion für ist$X$.

Ich bin mir bei der Metapher „Socke und Schuh“ nicht sicher, aber hier ist eine einfache Möglichkeit, über Dinge nachzudenken.

Lassen$X_1$Und$X_2$seien nichtleere Mengen. Elemente von$X_1 \times X_2$sind von der Form$(x_1, x_2)$, mit$x_1 \in X_1$Und$x_2 \in X_2$. Mit anderen Worten, ein Element von$X_1 \times X_2$läuft darauf hinaus, ein Element für jeden Faktorsatz auszuwählen$X_1$Und$X_2$. Das heißt, jedes Element von$X_1 \times X_2$ist eine Auswahlfunktion. Nun, wenn Sie eine große Sammlung nicht leerer Mengen haben$X_i$über eine Menge indexiert$I$, ein Element von$\Pi_{i \in I}X_i$eine Auswahlfunktion ist, also ist die Existenz einer Auswahlfunktion äquivalent dazu, dass dieses Produkt nicht leer ist.

Die direkte Summe in Ihrem Beispiel ist eine formale. Es ist hier gleichbedeutend mit einer Menge von Mengen. Ein Element einer direkten Summe auszuwählen, ist die Auswahlfunktion Ihrer Formulierung als Menge von Mengen.

Hewitt/Stromberg, Real and Abstract Analysis, GTM 25 lieferten einen Äquivalenzbeweis für:

$$\text{AC }\Leftrightarrow\text{ Tuckey's Lemma }\Leftrightarrow \text{ Hausdorff maximality principle }\Leftrightarrow \text{ Zorn's Lemma }\Leftrightarrow\text{ well-ordering theorem}$$ falls Sie an weiteren Perspektiven interessiert sind.