Warum ist das Axiom der Paarung erforderlich?

Ich denke, dass Ihre Sicht der Mengenlehre nicht formal genug ist. Jeder wird einem Neuling gerne die Mengenlehre vorstellen, indem er Mengen als "Sammlungen von Sachen" beschreibt. Dann könnte man sagen, dass die Formel$x\in A$bedeutet, dass "das Objekt$x$ist Mitglied der Sammlung$A$", und das$\{a,b,c\}$ist eine Sammlung, die genau die Objekte enthält$a$,$b$Und$c$. Aber das ist nur psychisch.

Formal gesprochen befasst sich die Mengentheorie mit völlig undurchsichtigen Objekten, die wir „Mengen“ nennen und die durch eine binäre Beziehung in Beziehung gesetzt werden können$\in$, die wir "Mitgliedschaft" nennen. Aber so wie Hilbert berühmterweise vorschlug, Punkte, Linien und Ebenen in der Geometrie in Stühle, Tische und Biergläser umzubenennen, könnten wir „Mengen“ in „Giraffen“ und „Zugehörigkeit“ in „Hummel“ (also eine Giraffe) umbenennen$y$könnte eine andere Giraffe stolpern$x$, was wir als bezeichnen werden$x\in y$).

Dann erklärt die Giraffentheorie, wie sich die Hummelbeziehung verhält und Giraffen in Beziehung setzt. Wir könnten fragen: gegeben zwei Giraffen$x$Und$y$, gibt es eine Giraffe$A$so dass die vollständige Liste der Giraffen, die$A$bumbles besteht genau aus$x$Und$y$? Nun, a priori gibt es keinen Grund, warum das der Fall wäre. Ich weiß nicht einmal wirklich, was "bumble" bedeutet!

Und dann kommt jemand und sagt: "Nun, natürlich gibt es einen, ich bezeichne ihn mit$\{x, y\}$! Es existiert, weil ich dieses Symbol schreiben kann.“ Ich würde fragen: „Aber was tut es$\{x,y\}$meinst?" Und diese Person würde antworten: "Es ist genau die Giraffe, die humpelt$x$Und$y$, und sonst nichts. Per Definition." Und die offensichtliche Reaktion wäre: "Die Tatsache, dass Sie dieses Symbol schreiben und erklären können, dass es eine solche Giraffe darstellt, bedeutet nicht, dass diese Giraffe tatsächlich existiert."

Der Sinn dieser kleinen Scharade besteht darin, Sie erkennen zu lassen, dass Ihr Fehler darin besteht, zu glauben, dass das Set$\{x,y\}$"offensichtlich" existiert, weil Sie wissen, was eine Menge sein soll und wie sich Mengen verhalten sollen. Aber der Sinn der Mengenlehre besteht genau darin, dies zu formalisieren, also dürfen wir nichts annehmen. Der Grund, warum das Paarungsaxiom notwendig ist, liegt darin, dass wir sonst mit den anderen Axiomen nicht beweisen können, dass es eine solche Paarmenge gibt. Sie können das Paarungsaxiom als die formale Begründung ansehen, für die Sie das Symbol schreiben dürfen$\{x,y\}$(und allgemeiner$\{x_1,\dots,x_n\}$für endlich viele Objekte) und erklären, dass dies eine wohldefinierte Menge ist, die genau enthält$x$Und$y$.

Ohne in ZFC beweisen zu können, dass das ungeordnete Paar$\{x,y\}$existiert wann immer$x, y$sind Mengen, alles, was Sie haben, ist eine Notation,$\{x,y\}$, für diese einzigartige Menge, die, falls vorhanden, nur enthält$x$Und$y$. Die Vorstellung, dass "eine Menge einfach aufgrund der Tatsache existiert, dass sie eine Definition hat", wird durch das (falsche, inkonsistente) Prinzip des "naiven Verständnisses" kodifiziert, das dies für jede Formel behauptet$\psi(x)$, die Sammlung$\{x\,|\,\psi(x)\}$Ist ein Satz. Nehmen$\psi(x)$sein$x\notin x$ergibt das Russell-Paradoxon.

Die Paarung ist bei Vorhandensein anderer Axiome überflüssig. Angesichts des Axioms der Unendlichkeit (in seiner üblichen Formulierung) und der Trennung können Sie zeigen, dass die Menge$2 = \{\emptyset, \{\emptyset\}\} = \{0, 1\}$existiert. Ebenso, wenn Sie die Existenz von haben$\emptyset$und wieder das Powerset-Axiom$2 = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset))$ist nachweislich eine Menge.

Nun, gegeben alle Sätze$a, b$, die Klassenfunktion$F$gegeben von$0 \mapsto a, 1 \mapsto b$ist definierbar — zum Beispiel durch diese Formel mit Parametern$a, b$:

Weil$2$Wie oben ist ein Satz, durch Ersetzen seines Bildes darunter$F$Ist ein Satz. Dieses Bild ist$F[2] = \{y\,|\, (\exists x\in 2)\, \varphi(x, y)\} = \{a, b\}$.

Pairing existiert als separates Axiom, weil wir in der Lage sein wollen, die Systeme zu untersuchen, die sich aus dem Weglassen anderer ZFC-Axiome wie Infinity, Replacement oder Powerset ergeben. Der verbleibende Kern der Axiome sollte grundlegende Aspekte von "Sethood" charakterisieren, die diese Begriffe nicht beinhalten. Paarbildung ist eine Grundvoraussetzung, die wir für Universen von Mengen haben – was auch immer ein Modell der Mengenlehre sonst noch enthält oder nicht enthält, es sollte sicherlich unter Paarbildung abgeschlossen sein.

Beachten Sie, dass die Trennung von Replacement und den anderen ZFC-Axiomen bewiesen werden kann, aber in den meisten Präsentationen als separates Axiomenschema beibehalten wird, aus pädagogischen Gründen – es bietet eine Gelegenheit, naives Verständnis und die daraus resultierenden Inkonsistenzen zu diskutieren – und weil ZC, ZFC minus Replacement , kam zuerst und bleibt eine Sache.

"Existiert eine Menge nicht aufgrund ihrer Definition?"
Nein, im Wesentlichen sagen Sie das, wenn Sie eine Eigenschaft haben$P$, dann sollte es eine Menge geben$X$deren Elemente genau diejenigen sind, die befriedigen$P$.

Nun mag dies wie ein sehr natürliches Axiom erscheinen, aber es ist widersprüchlich (mit ihm können Sie absurde Aussagen wie beweisen$0=1$!).

Man kann seine Widersprüchlichkeit sehen, indem man es zulässt$P(x)=\neg(x\in x)$und Bildung der „Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten“, was zum berühmten Russel-Paradoxon führt.
Siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox