Formulierung des Trennungsaxioms in der Mengenlehre

Ich habe eine Frage zu dieser Formulierung des Trennungsaxioms:

Ich zitiere aus dem Buch „Handbook of Mathematical Logic“, das Kapitel, aus dem dies entnommen ist, könnte man auch hier finden .

Jetzt können wir uns den Axiomen zuwenden. Der erste Punkt unserer Analyse war, dass eine Menge vollständig von ihren Mitgliedern bestimmt wird. Dies ist der Inhalt unseres ersten Axioms.

Extensionalitätsaxiom: ∀ z ( z ∈ X ↔ z ∈ j ) → X = j .

Einer der wichtigsten Punkte unserer Analyse ist, dass bestimmte Sammlungen von Mengen Mengen sind. Bei der Übersetzung in unsere Sprache stehen wir vor einer Schwierigkeit: Es gibt keine allgemeine Methode, um in dieser Sprache über Sammlungen zu sprechen, bevor wir wissen, dass es sich um Mengen handelt. Es gibt jedoch bestimmte Sammlungen, über die wir sprechen können. Gegeben eine Formel ϕ ( X ) , können wir einiges über die Sammlung aller Sets sagen X so dass ϕ ( X ) . Insbesondere können wir sagen, dass es sich um eine Menge wie folgt handelt: ∃ j ∀ X ( X ∈ j ↔ ϕ ( X ) ) . Wir kürzen diesen Ausdruck zu ab S e T { X : ϕ ( X ) } . Unser erstes Prinzip der Mengenexistenz lautet: wenn jedes Mitglied einer Sammlung von Mengen zur Menge gehört X , dann ist diese Sammlung eine Menge. Um dies zu sehen, nehmen Sie an, dass X wird am Staat gebildet S [...]

Trennungsaxiom: ∀ X ( ϕ ( X ) → X ∈ j ) → S e T { X : ϕ ( X ) } .

Für was ist der Begriff ∀ X ( ϕ ( X ) → X ∈ j ) im Trennungsaxiom, würde es nicht ausreichen, nur anzugeben S e T { X : ϕ ( X ) } dh die Formeln ∃ j ∀ X ( X ∈ j ↔ ϕ ( X ) ) als Trennungsaxiom?

Die Verwirrung liegt meiner Meinung nach in dem Unterschied zwischen den Formulierungen des Axioms in der Frage und in Arthurs Antwort. Ich finde, dass die hier gegebene die Tatsache verschleiert, dass wir definierbare Teilmengen erstellen wollen; wohingegen die Art und Weise, wie Arthur (und tatsächlich die meisten, wenn nicht alle Formulierungen, die ich bis heute gesehen habe) das Axiom schrieb, viel klarer ist.

Antworten (2)

Das Trennungsaxiom sagt uns, dass bestimmte „definierbare“ Sammlungen Mengen sind. Insbesondere sagt uns diese Form, dass „definierbare“ Unterfamilien von Mengen selbst Mengen sind. Die Teilformel ∀ X ( ϕ ( X ) → X ∈ j ) ist da, um das Axiom darauf zu beschränken, nur Unterfamilien von Sammlungen zu erzeugen, von denen bereits bekannt ist, dass sie Mengen sind. Ohne diese Bedingung wäre es möglich, diese Form des Axioms zu verwenden, um darauf zu schließen

{ X : ¬ ( X ∈ X ) }
ist eine Menge, das ist Bertrand Russells berühmtes Paradoxon . Zusammen mit der Bedingung können wir nur darauf schließen, dass eine beliebige Menge gegeben ist j die Sammlung
{ X : X ∈ j ∧ X ∉ X }
ist eine Menge, aus der wir offensichtlich keinen Widerspruch ableiten. (Normalerweise wird dies verwendet, um die Existenz der leeren Menge zu beweisen ∅ .)

Oft nimmt dieses Axiom (Schema) eine etwas andere Form an:

Wenn ϕ ( X ) ist eine Formel (in der z tritt nicht kostenlos auf) dann

( ∀ j ) ( ∃ z ) ( ∀ X ) ( X ∈ z ↔ ( X ∈ j ∧ ϕ ( X ) )
ist ein Beispiel für das Axiom der Trennung.

Dieses Formular sagt uns im Wesentlichen, dass Sammlungen des Formulars { X ∈ j : ϕ ( X ) } = { X : X ∈ j ∧ ϕ ( X ) } sind Mengen (wann immer j selbst ist eine Menge).

Ihr Vorschlag: dh

davon auszugehen S e T { X : ϕ ( X ) } Bleib für ∃ j ∀ X ( X ∈ j ↔ ϕ ( X ) )

ist einfach das sogenannte "naive" Verständnis-Axiom . Wie Arthur erklärte,

Russell (1901) wies darauf hin, dass man Cantors Paradox umformulieren könnte, um einen wirklich einfachen Widerspruch direkt daraus zu erhalten; definieren R = { X : X ∉ X } . Dann R ∈ R ↔ R ∉ R , ein Widerspruch.

Die Idee hinter dem Comprehension Axiom ist, dass es für jede Bedingung, die wir uns "vorstellen" können, eine Menge gibt , die alle und nur die Objekte enthält, die die Bedingung erfüllen.

Umformuliert in die Sprache erster Ordnung wird daraus: für jede Bedingung, die wir in der Sprache ausdrücken können, dh für jede Formel ϕ ( X ) mit X frei gibt es die Menge jener Objekte, die ...

Um das R-Paradoxon (und ähnliche) zu vermeiden, stehen verschiedene Lösungen zur Verfügung; schränken Sie beispielsweise die möglichen "Bedingungen" ein, die im Verständnisaxiom verwendet werden können.

Eine andere Lösung wurde von Zermelo (1908) formuliert und später von Fraenkel und Skolem verbessert, basierend auf dem Trennungsaxiom .

Seine aktuelle Formulierung spiegelt die Idee des ursprünglichen Zermelo wider: Eine "Bedingung" kann angewendet werden, um eine neue Menge nur ausgehend von einer bereits bestehenden Menge zu "erzeugen" (dh sie von der bestehenden Menge zu "trennen" ).

Formulierung des Trennungsaxioms in der Mengenlehre
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