Was macht Tarski Grothendieck zur nicht-leeren Mengenlehre?

Ich kämpfe seit einiger Zeit mit der Grothendieck-Mengentheorie . Dies ist der Rahmen für das automatisierte Proof-Checking-System von Mizar und daher gibt es auch hier eine formalisierte Version der Axiome und hier im Link "Inhalt", der als pdf bereitgestellt wird.

Was ich verstehen möchte, ist, wie die Theorie überhaupt Mengen enthält und wo sich dann welche Arten von Mengen befinden.

Die erste Frage wäre beantwortet, wenn wir feststellen, warum die Theorie die leere Menge enthält. Ich lese die Köpfe

Die Existenz der leeren Menge ist ein Axiom von ZFC oder nicht?

Und

Wie bekomme ich die Existenz eines Sets in ZFC nach Jech?

Sie beschäftigen sich jedoch mit einer ziemlich anderen Mengenlehre.

Wenn nun die leere Menge etabliert wäre, dann schätze ich, garantiert die Theorie die Existenz eines Grothendieck-Universums mit vielen netten Sachen. Okay, es gibt die Behauptung auf der Wikipedia-Seite, dass das Tarski-Axiom das Axiom der Unendlichkeit impliziert und die Existenz einer Menge bedeuten würde, dass wir gewinnen würden. Ich kann jedoch nicht erkennen, wie diese Tarski-Axiomformulierung funktioniert

 reserve x,y,z,u,N,M,X,Y,Z for set;
 ...
 ex M st N in M &
 (for X,Y holds X in M & Y c= X implies Y in M) &
 (for X st X in M ex Z st Z in M & for Y st Y c= X holds Y in Z) &
 (for X holds X c= M implies X,M are_equipotent or X in M);

lässt uns sogar ein Axiom generieren, wenn der All-Quantor über einen leeren Bereich geht.

Ein anderer Weg: Wenn wir in der Mizar Mathematical Library nach dem ersten Vorkommen der leeren Menge suchen, dann finden wir sie hier gleich nachdem das Axiomschema der Trennung aufgestellt ist. Ein Klick auf „Beweis“ erlaubt uns dann zu sehen, wie das Schema verwendet wird, um die Existenz zu zeigen. So kommt es, dass am Ende des folgenden Artikels

http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_empty_set

Sie beziehen sich genau auf ein Verfahren, um einen Satz aus dem Trennungsaxiom zu erhalten, aber ich habe dies gelesen und es klärt die Dinge immer noch nicht auf. Und es versteht sich von selbst, dass es in der Mizar-Bibliothek kein Axiom "es existiert eine solche Menge ..." gibt.

Schließlich kann ich noch die Definition oder Spezifikation der leeren Menge anmerken

 definition
 func {} -> set means
 :: XBOOLE_0:def 1
 not ex x being set st x in it;

Dies geschieht durch die Einführung von etwas, das sie als "Funktor" bezeichnen, aber es ist kein Funktor im kategorietheoretischen Sinne, ich denke, es ist ein Begriffskonstruktor, da sie dies auch verwenden, um das Paar auf der Axiomseite zu definieren

  definition let y; func { y } means
  :: TARSKI:def 1
  x in it iff x = y;
  let z; func { y, z } means

Ich bin mir nicht einmal sicher, ob dies ein Axiom ist, das die Existenz des "Funktors" garantiert, oder ob es sich lediglich um eine Notationskonstruktion handelt.

Noch eine Anmerkung: Ich habe diesen SE-Thread gelesen und in der Antwort des Posters heißt es: "Man muss oft überprüfen, ob eine Definition nicht davon abhängt, in welchem ​​​​Universum sie ausgeführt wird". Ich frage mich, wenn ich mich für Sets für Topologie und Wahrscheinlichkeitstheorie interessiere, wird dieser genannte Nachteil wirklich einer sein?

Antworten (1)

Axiomatische Mengentheorien sollen normalerweise die klassische Logik erster Ordnung als ihr Substrat verwenden , und die klassische Logik erster Ordnung, wie sie normalerweise formalisiert wird, erfordert implizit , dass der Diskursbereich nicht leer sein muss.

Technisch gesehen, wenn φ irgendeine logische Formel in der Sprache ist, die wir betrachten, dann beweist sich die Logik erster Ordnung ∃ X ( φ ∨ ¬ φ ) rein logische Axiome und Regeln verwenden, dafür gar keine mengentheoretischen Axiome benötigen. Daher muss die Existenz einer Menge nicht zu einem Axiom der Theorie gemacht werden – sie kann als Randbedingung angenommen werden, weil die Theorie ein Geschöpf der Logik erster Ordnung ist.

Es ist möglich, eine Variante der Logik erster Ordnung zu formulieren, die keine Dinge beweist, die im leeren Bereich des Diskurses falsch sind – aber der Preis dafür sind komplexere Regeln für die Argumentation über Quantoren, und das einzige, was uns das bringt ist es, ein eher uninteressantes Eckgehäuse als Modell zuzulassen, das in der Regel den Preis nicht wert ist.

Sicherlich wäre es sinnlos, die Logik selbst komplexer zu machen, nur um unserer Mengenlehre ein explizites Axiom hinzufügen zu müssen, dessen Wirkung darin besteht, das zu negieren , was wir gerade getan haben.

Dies wird jedoch oft als ziemlich subtiler Punkt empfunden, um Verwirrung zu vermeiden, könnten einige Einleitungen sich dafür entscheiden, "etwas existiert" ohnehin als explizites Axiom aufzunehmen - schließlich schadet dies nicht, es sei denn, wir legen besonderen Wert darauf, ein zu haben minimaler Satz von Axiomen, was im Allgemeinen nicht erreichbar ist, wenn es ohnehin Axiomenschemata gibt.

Auch in Mengentheorien wie ZF, wo es aus anderen Gründen bereits ein oder mehrere Axiome mit a gibt ∃ als äußerster Quantifizierer, dann ist es eine bescheidene Menge an Tinte wert, darauf hinzuweisen, dass dies uns erlauben würde, zu beweisen, dass eine Menge existiert, selbst wenn wir uns dafür entscheiden, in einem logischen Hintergrund zu arbeiten, der dies selbst nicht tut.

Wenn dieses "Logik-Set" vorhanden ist, aber für mich völlig undefinierbar ist, wie kann ich dann richtig damit arbeiten? Diese Menge ist nicht die leere Menge, oder? Wenn ich dieses Set als dasjenige betrachte, das das erste Grothendieck-Universum über das Tarski-Axiom erzeugt, bedeutet dies dann, dass ich seltsame Dinge in meinem Universum habe?
@NickKidman: Normalerweise, sobald Sie wissen, dass einige festgelegt sind A existiert, könnten Sie die leere Menge daraus durch ein Trennungsaxiom herstellen: { X ∈ A ∣ ( X ∈ X ) ∧ ( X ∉ X ) } existiert und ist leer. Der Wikipedia-Artikel, auf den Sie verlinken, scheint jedoch kein Trennungsaxiom zu enthalten. Es ist möglich, dass der Artikel eine Variation von Replacement annimmt, die Separation subsumiert, indem er die Verwendung von Teilfunktionalen zulässt .
Die Liste der Axiome im Wikipedia-Artikel erscheint mir besonders vage, es gibt keine Möglichkeit, aus dieser Darstellung zu sagen, was die Axiome beweisen können.
Nun, ich sage in meinem ersten Beitrag, dass die Bibliothek das Axiomschema der Trennung enthält. Ich habe auch den Link zu den Axiomen des Beweisers gepostet, sie enthalten, glaube ich, Ersetzungen. als "Schema Fraenkel".
@Nick: Ja, das scheme Fraenkelsubsumiert Trennung; es wird die leere Menge erzeugen, wenn P[x,y]als Widerspruch gewählt wird.
@HenningMakholm: Ich verstehe nicht, wie ich die Existenz mit dem Axiom der Trennung aufschreiben kann, ohne vorher einen Satz zur Hand zu haben. Da ist der Teilstring " ∈ X „mit quantifiziert X darin, aber ich habe kein X, um damit zu beginnen. Ich habe nichts, wovon ich etwas trennen könnte. (Ich glaube, ich weiß nicht einmal a priori, dass die leere Menge eine Teilmenge einer beliebigen Menge ist, könnte sowieso egal sein.) Ich habe auch gerade diesen Mathoverflow-Beitrag gelesen und sie streiten sich auch über die leere Menge.
@NickKidman: Natürlich müssen Sie ein Set zur Hand haben, bevor Sie die Trennung verwenden können. Der Punkt meines Kommentars war, dass Sie , nachdem die Logik erster Ordnung bewiesen hat, dass etwas existiert (und dass etwas implizit eine Menge sein muss, weil alles, worüber die Theorie spricht, Mengen sind), Sie Trennung verwenden können, um von dort zur leeren Menge zu gelangen.
Okay, ja, ich habe es offiziell hier in ihrem Wiki . Die zugrunde liegende Mizar-Sprache ist typisiert und sie verlangen implizit, dass ihre Typen nicht leer sind. Auch das "Paarungsaxiom" und die anderen beiden danach in den Artikeln sind nicht die eigentlichen Axiome, sondern Konsequenzen, mit denen sie zu arbeiten beginnen, und deshalb werden sie als Definitionen angegeben.
Nur eine Ergänzung zum Aufbau der Theorie der Theorien erster Ordnung, um leere Diskursuniversen zuzulassen: Diese Erweiterung wird interessant, ja entscheidend, sobald wir uns für Modelle interessieren, die nicht aus Mengen, sondern aus Modellen bestehen verschiedene Kategorien. Zum Beispiel ist in den meisten Topos die Aussage „jede Menge ist leer oder bewohnt“ nicht wahr. Indem wir uns also auf die klassischen Definitionen beschränken, schließen wir viel mehr als nur das leere Modell aus. Wir schließen auch alle aus, die nicht leer, aber nicht bewohnt sind. Klassisch kann das nicht passieren, aber in den meisten Toposen schon.
Was macht Tarski Grothendieck zur nicht-leeren Mengenlehre?
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