Warum ist das Axiom der Unendlichkeit notwendig?

Die Antwort von BrianO ist genau richtig, aber es scheint mir, dass Sie mit Modellen und Konsistenzbeweisen nicht allzu vertraut sind, also werde ich versuchen, eine vollständigere Erklärung zu geben. Wenn überhaupt, kann es Sie besser zu dem führen, was Sie lernen müssen, da ich zugegebenermaßen dabei bin, eine Menge Material zu beschönigen.

Wozu brauchen wir das Unendlichkeitsaxiom? Weil wir wissen (und beweisen können), dass die anderen Axiome von ZFC nicht beweisen können, dass eine unendliche Menge existiert. Dies geschieht grob in den folgenden Schritten:

• Erinnere dich an eine Reihe von Axiomen$\Sigma$ist inkonsistent, wenn für irgendeinen Satz$A$die Axiome führen zu einem Beweis von$A \land \neg A$. Dies kann geschrieben werden als$\Sigma \vdash A \land \neg A \to \neg Con(\Sigma)$
• Wenn$Inf$ist die Aussage "eine unendliche Menge existiert", dann$\neg Inf$ist die Aussage "es gibt keine unendlichen Mengen".
• Das Axiom der Unendlichkeit ist im Wesentlichen die Annahme, dass$Inf$ist wahr und daher$\neg Inf$ist falsch.
• Wenn wir das Unendlichkeitsaxiom nicht brauchen, dann mit den anderen Axiomen$ZFC^* = ZFC - Inf$, sollten wir beweisen können$Inf$als Theorem, mit anderen Worten, wir werden das postulieren$ZFC^* \vdash Inf$
• Wir nehmen an, dass$ZFC$, und damit die Teilmenge$ZFC^*$, sind konsistent.
• Wir fügen dann hinzu$\neg Inf$als Axiom zu$ZFC^*$, die wir anrufen werden$ZFC^+$
• Indem man das zeigt$(ZFC - Inf) + \neg Inf$ein Modell hat (eine Menge, in der alle Axiome wahr sind, wenn sich Quantoren nur über die Elemente der Menge erstrecken), können wir die relative Konsistenz beweisen$Con(ZFC) \to Con(ZFC^+)$. Mit anderen Worten, wir beweisen im Grunde nur$ZFC^+$ist konsistent, aber wir müssen explizit sagen, dass dieser Beweis voraussetzt$ZFC$ist konsistent.
• Das Modell, das wir wollen, ist$HF$, die Menge aller erblich endlichen Mengen. Ich überlasse es Ihnen, alle Axiome von zu überprüfen$ZFC^+$Halt in diesem Set. Aber der wichtige Punkt ist$HF \models ZFC^+$, und unsere relative Konsistenz ist bewiesen. (Dies folgt aus dem Vollständigkeitssatz von Gödel)
• Davon gehen wir aus$ZFC^* \vdash Inf$, aber weil$ZFC^+$ist eine Erweiterung von$ZFC^*$das muss auch so sein$ZFC^+ \vdash Inf$. Aber dann haben wir$ZFC^+ \vdash Inf \land \neg Inf$und ist damit inkonsequent, ein Widerspruch.

Daraus müssen wir schließen, dass unsere Hypothese$ZFC^* \vdash Inf$ist falsch und es gibt keinen Beweis dafür$Inf$von den anderen Axiomen von ZFC.$Inf$muss als Axiom genommen werden, um die Existenz einer unendlichen Menge beweisen zu können.

Die Existenz jeder natürlichen Zahl folgt aus den anderen Axiomen der Mengenlehre, aber wenn man das Axiom der Unendlichkeit (AxInfinity) weglässt, hat die resultierende Theorie ZFC-AxInfinity ein (transitives) Modell, bestehend aus den erblich endlichen Mengen, das kein Unendliches enthält setzt. Die Axiome von ZFC-AxInfinity bieten keine Möglichkeit, alle natürlichen Zahlen in einem einzigen Satz zusammenzufassen.

Der Punkt ist, sobald Sie alle natürlichen Zahlen in einer Menge zusammengefasst haben, können Sie diese Menge jetzt wie jedes andere atomare Objekt behandeln und alle Dinge tun, die Sie mit einer Menge tun können. So können Sie zum Beispiel eine Menge erstellen, die die Menge der natürlichen Zahlen als Element hat, Sie können die Potenzmenge der natürlichen Zahlen konstruieren, Sie können Funktionale (Funktionen, die Funktionen annehmen) von Funktionen natürlicher Zahlen erstellen.

Das Radikale an Cantors Mengenlehre war die Kombination von Mengen, die Mengen enthalten können (mit den üblichen Operationen aus der endlichen Mengenlehre) und unendlichen Mengen. Jede Idee allein ist nicht so wichtig. Die endliche Mengentheorie ist eine vollkommen vernünftige Sache, Powersets eingeschlossen. Einen "Typ" natürlicher Zahlen zu haben, ist auch eine vernünftige Sache, es gibt nur an, welche Operationen Sie mit Dingen ausführen dürfen, die diesen Typ haben. Insbesondere in der (einfachen) Typentheorie können Sie keine Funktion erstellen, die selbst einen Typ zurückgibt, während es in der Mengentheorie eine völlig gültige Definition ist zu sagen:$f(1) = \mathbb{N}; f(2) = \mathbb{Z}$.

Das Entscheidende ist also im Zusammenhang mit der Gesamttheorie der Mengen, dass das Axiom der Unendlichkeit besagt, dass die natürlichen Zahlen nicht nur (effektiv) existieren, sondern dass Sie sie in Ihren Händen halten und die Menge als Ganzes wie jede andere manipulieren können andere. Dagegen rebellieren Finitisten. Sie haben kein Problem mit einer "Unendlichkeit" natürlicher Zahlen (obwohl sie eine "unbegrenzte Menge" sagen würden), sondern damit, dass sie diese Unendlichkeit genauso manipulieren können, wie Sie die endliche Menge manipulieren würden:$\{1, 2, 3\}$.