Endliche Mengentheorie und das Axiom der Potenzmenge

Hier ist ein Modell Ihrer "endlichen Mengentheorie" (einschließlich Grundlage), in dem es eine unendliche Menge gibt und Potenzmenge und Ersatz fehlschlagen. Lassen$A=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\{\emptyset\}\},\{\{\{\emptyset\}\}\},\dots\}$und lass$M$die Schließung sein$V_\omega\cup\{A\}$unter Pairing, Union und Untergruppen nehmen (also if$X\in M$Und$Y\subseteq X$Dann$Y\in M$). Es ist klar, dass$M$alle Ihre Axiome erfüllt, außer möglicherweise die Negation der Unendlichkeit. Um die Negation von Unendlich zu beweisen, beachten Sie, dass if$X\in M$, dann der transitive Abschluss von$X$enthält nur endlich viele Kardinalitätselemente$>1$(da dies gilt für$A$und für jedes Element von$V_\omega$, und wird erhalten, indem Paare, Vereinigungen und Teilmengen verwendet werden). So$M$kann keine Induktionsmenge enthalten.

Jedoch,$M$enthält eine unendliche Menge, nämlich$A$. Das ist auch klar$M$kann Power Set nicht befriedigen, da$M$enthält jede Teilmenge von$A$Aber$\mathcal{P}(A)\not\in M$(entweder durch das oben erwähnte Kriterium oder durch die Feststellung, dass jedes Element von$M$ist zählbar). Auch das Ersetzen schlägt fehl, da die übliche rekursive Definition der offensichtlichen Bijektion$A\to\omega$kann implementiert werden$M$, also Austausch würde bedeuten$\omega$Ist ein Satz.

Dieses Modell erfüllt die Wahl in der Form „wenn$X$eine Menge disjunkter nichtleerer Mengen ist, dann gibt es eine Menge, die ein Element von jeder von ihnen enthält" (da$M$enthält alle Teilmengen von$\bigcup X$). Es erfüllt nicht die Wahl in der Form „wenn$X$eine Menge nichtleerer Mengen ist, dann existiert eine Auswahlfunktion$X\to\bigcup X$", im Grunde, weil es sehr schwierig ist, Funktionen als Mengen zu konstruieren$M$(z.B. wenn$X=A\setminus\{\emptyset\}$, die einzigartige Auswahlfunktion für$X$hätte unendlich viele 2-elementige Mengen in seinem transitiven Abschluss). Wahrscheinlich ist es möglich, ein Modell zu bauen, bei dem jede vernünftige Form der Wahl versagt, aber ich weiß im Moment nicht genau, wie ich das machen soll.

Da Sie Foundation nicht einbeziehen, können wir tatsächlich ein sehr seltsames Modell erhalten. Betrachten Sie nämlich eine$\omega$-Modell$M$der ZF-Stiftung+"gibt es eine unendliche Menge$A$von Quine-Atomen" (ein Quine-Atom ist eine zufriedenstellende Menge$x=\{x\}$, und die Existenz vieler Chine-Atome steht im Einklang mit der ZF-Foundation). Betrachten Sie nun die Struktur$W$das ist die Schließung von

$$V_\omega^M\cup A\cup\{[A]^n: n\in\mathbb{N}\}$$ unter Paarung, Vereinigung und Trennung. Hier "$[X]^k$" bezeichnet die Menge von$k$-Element Teilmengen von$X$.

$W$erfüllt die endliche Mengentheorie, aber nicht Powerset ($\mathcal{P}(A)$existiert nicht) oder Auswahl (es gibt keine Auswahlfunktion für die Menge der zweielementigen Teilmengen von$A$).

Ich bin mir nicht sicher, ob$W$erfüllt Replacement, aber ich vermute, dass dies der Fall ist , und ich sehe nicht sofort, wie ich einen Fehler von Replacement hinzufügen kann. Unterdessen scheint die Einarbeitung von Foundation schwierig zu sein.

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Wenn wir definieren$W$B. der Paarungs-/Vereinigungs-/Trennungsschluss von

$$V_\omega^M\cup A\cup\mathcal{P}(A)\cup\{[\mathcal{P}(A)]^n: n\in\mathbb{N}\}$$ stattdessen wo $M$erfüllt " $A$ist ein amorpher Satz von Quine-Atomen", dann glaube ich, dass wir zusammen mit der Negation von Replacement und Powerset ein Modell der endlichen Mengentheorie erhalten; Powerset versagt, da wir es nicht haben $\mathcal{P}^2(A)$, und das Ersetzen schlägt fehl, da das Bild der Karte jede Teilmenge von sendet $A$zu seiner Kardinalität, wenn es endlich ist, oder die Kardinalität seines Komplements ansonsten nicht existiert.