Die Existenz der leeren Menge ist ein Axiom von ZFC oder nicht?

Kurz gesagt, wir müssen dies nicht als Axiom annehmen. Aber...

Wenn es überhaupt Mengen gibt, sagt uns das Axiom der Teilmengen, dass es eine leere Menge gibt: Wenn$x$ist dann eine Menge$\{y\in x\mid y\ne y\}$ist eine Menge und ist leer, da es keine Elemente gibt$y$von$x$wofür$y\ne y$. Das Extensionalitätsaxiom sagt uns dann, dass es nur eine solche leere Menge gibt.

Die Frage ist also, ob wir beweisen können, dass es Mengen gibt. Das Axiom der Unendlichkeit sagt uns, dass es eine Menge gibt (die unendlich oder induktiv ist oder welche Formalisierung Sie auch verwenden). Aber es scheint ein schrecklicher Overkill zu sein, zu überprüfen, ob es Mengen gibt, zu postulieren, dass es unendlich viele gibt.

Manche Leute ziehen es vor, ein Axiom zu haben, das besagt, dass es Mengen gibt. Natürlich bevorzugen einige Leute dann einfach ein Axiom, das besagt, dass es eine leere Menge gibt, also haben wir sofort, dass es Mengen gibt, und vermeiden es, Verständnis anwenden zu müssen, um zu überprüfen, ob die leere Menge existiert.

Andere nehmen eine Formalisierung der Logik erster Ordnung an, in der wir beweisen können , dass es Mengen gibt. Genauer gesagt beweisen die meisten Formalisierungen der Logik (sicherlich die, die ich bevorzuge) als Theorem, dass das Universum des Diskurses nicht leer ist. Im Kontext der Mengenlehre bedeutet dies „es gibt Mengen“. Das ist reine Logik, bevor wir zu den Axiomen der Mengenlehre kommen. Bei diesem Ansatz brauchen wir das Axiom, das besagt, dass es Mengen gibt, nicht, und die Existenz der leeren Menge kann wie oben erklärt festgestellt werden.

(Der logische Beweis, dass es Mengen gibt, ist nicht besonders aufschlussreich oder philosophisch bedeutsam. Normalerweise ist dies eines der Axiome der Logik erster Ordnung$\forall x\,(x=x)$. Wenn$\exists x\,(x=x)$– die formale Aussage, die „es gibt Mengen“ entspricht – ist dann falsch$\forall x\,(x\ne x)$. Instantiieren, erhalten wir$x\ne x$, und Instantiieren des Axioms$\forall x\,(x=x)$wir erhalten$x=x$, und einer dieser Schlüsse ist die Negation des anderen, was ein Widerspruch ist. Das ist nicht besonders erhellend, weil wir natürlich unsere logischen Axiome und Instanziierungsregeln so wählen, dass dieses dumme Argument durchgehen kann, es ist kein tiefes Ergebnis, und wahrscheinlich gewinnen wir nicht viel Einsicht daraus.)

Es stellt sich heraus, dass einige andere es vorziehen, die Möglichkeit zuzulassen, dass es leere Diskursuniversen gibt, sodass ihre Formalisierung der Logik erster Ordnung etwas anders ist, und in diesem Fall müssen wir ein Axiom annehmen, um zu dem Schluss zu kommen, dass es mindestens eines gibt Satz.

Das ist am Ende des Tages eher Nebensache, eher eine Frage des persönlichen Geschmacks als eine mathematische Frage.

Ob es als Axiom aufgeführt wird oder nicht, hängt vom Temperament des Autors ab.

In den meisten Formalisierungen der Logik erster Ordnung (der zugrunde liegenden Logik hinter der ZFC-Mengentheorie) lautet die Formel "es existiert etwas":

Viele Autoren denken jedoch, dass es für eine klarere Darstellung sorgt , die Existenz einer leeren Menge als explizites Axiom aufzulisten, anstatt sich auf Feinheiten der zugrunde liegenden Logik zu verlassen.

Selbst in Logiken, in denen das Universum leer sein darf ( und$\exists x.\mathit true$keine logische Tautologie ist) könnten wir uns im Prinzip mit dem Axiom der Unendlichkeit begnügen, das auch (in einigen seiner möglichen Formulierungen) die Existenz einer Menge mit bestimmten Eigenschaften behauptet, ohne von irgendwelchen bereits existierenden Mengen abhängig zu sein. Dann kann die leere Menge wie zuvor konstruiert werden als$\{ y \in \omega \mid y\in y \land y\notin y\}$.

Diese letztere Option ist jedoch in der Praxis unpraktisch, da es interessante Dinge über "ZFC ohne das Axiom der Unendlichkeit" zu sagen gibt und es umständlich (und weniger auffällig) wäre, über "ZFC ohne das Axiom der Unendlichkeit" sprechen zu müssen, aber mit einem hinzugefügten Nullsatz-Axiom" bei der Angabe dieser Ergebnisse.

Es gibt eine Reihe elementar äquivalenter Axiomatisierungen von ZFC (in dem Sinne, dass die Äquivalenzbeweise nur elementare logische Überlegungen beinhalten). Wie Sie bemerken, ist die Existenz einer leeren Menge bei einigen Axiomatisierungen ein Axiom (wobei andere Axiome die Eindeutigkeit beweisen), bei anderen Axiomatisierungen ist die Existenz der leeren Menge ein Theorem. Hier ist nichts Tiefes los!