Was war die Antwort auf dieses Paradoxon vor Cantor?

Ich erinnere mich nicht an den Namen / die Quelle dieses Paradoxons, aber ich erinnere mich, dass ich dies mindestens fünfmal mit Mathematikern und Nicht-Mathematikern diskutiert habe.
Es geht so:

„Jeder Punkt einer Linie hat eine Länge 0 und jedes Liniensegment besteht aus Punkten. Die Länge des Liniensegments ist also die Summe 0 + 0 + … = 0 "

was wie ein Paradoxon erscheint.
Natürlich ist die Anzahl der Punkte auf einem Liniensegment nicht zählbar, also enthält die "Summe" tatsächlich nicht jeden Punkt, also gibt es dort einen offensichtlichen Fehler und wir sind fertig.
Meine Frage ist:
Wurde dieses Paradoxon vor Cantor diskutiert (oder beantwortet)?

Ich bin mir nicht sicher, warum Sie "vor Cantor" sagen. Cantors Ideen sind zwar für diese Frage nicht irrelevant, lösen sie aber sicherlich nicht von sich aus.
@EricWofsey warum nicht?
"Eine Strecke besteht aus Punkten" ist eine sehr moderne Vorstellung. Bei Euklid gibt es Linien, Punkte und Inzidenz (ob ein bestimmter Punkt auf einer bestimmten Linie liegt). Aber sicherlich gibt es keine Behauptung, dass die Strecke aus Punkten besteht.
Es ist bedauerlich, dass Sie Cantor im Titel erwähnt haben sollten. Obwohl ich keine Antwort auf die Frage habe, scheint mir, dass dieses "Paradoxon" eher mit der Maßtheorie als mit der Mengentheorie zusammenhängt. Tatsache ist, dass das Maß einer abzählbaren_ disjunkten Vereinigung von messbaren Mengen die Summe ihrer Maße ist, dies gilt nicht für eine nicht abzählbare Vereinigung (selbst wenn diese Summe definiert ist). Beachten Sie auch, dass die Tatsache, dass es auf dem Liniensegment unabzählbar viele Punkte gibt, bedeutet, dass Sie die Summe nicht als schreiben können 0 + 0 + 0 + ⋯ : Es gibt keine Möglichkeit, die Beiträge in einer solchen (zählbaren!) Summe "aneinanderzureihen".
Obwohl die meisten Menschen heute an eine Linie als Punktmenge denken, ist dies nicht die einzige Möglichkeit. Bei der glatten Infinitesimalanalyse (SIA) beispielsweise ist eine Linie keine Punktmenge.
Cantor hat sich mit dieser Frage nicht befasst, ebensowenig wie die von ihm entwickelten Konzepte. Cantor ging es um die Kardinalität, nicht um die Länge. Die Kardinalität der Menge der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 ist die gleiche wie die Kardinalität der Menge der reellen Zahlen zwischen 0 und 2 (oder zwischen zwei beliebigen endlichen Grenzen), und auch die gleiche wie die Kardinalität der Menge aller reale Nummern. Die Grenzen (oder deren Fehlen) machen offensichtlich einen großen Unterschied in der Länge der fraglichen Sets. Kardinalität und Länge (Maßtheorie) sind sehr unterschiedliche Konzepte.

Antworten (4)

Zenon (um 500 v. Chr.) brachte dieses Paradoxon auf, um gegen den Begriff der „Vielzahl“ zu argumentieren, indem er argumentierte, dass der Glaube an die Existenz vieler Dinge und nicht nur eines zu absurden Schlussfolgerungen führe: Wenn es viele Dinge gibt, müssen sie sowohl klein als auch sein groß; so klein, dass es keine Größe hat, aber so groß, dass es unbegrenzt ist.

Siehe Abschnitt 2.2 von Zenos Paradoxien in der Stanford Encyclopedia of Philosophy. Das folgende Zitat stammt aus einer Erörterung von Zenos Buch über Paradoxien durch Simplicius (der tausend Jahre nach Zenos Schreiben anscheinend immer noch sein Buch hatte, das jetzt verloren ist):

Wenn ein Ding keine Größe oder Masse oder Masse hat, würde es nicht existieren. Denn wenn es zu etwas anderem, was existiert, hinzugefügt würde, würde es es nicht größer machen. Denn wenn es keine Größe hätte und hinzugefügt worden wäre, kann es nicht an Größe zunehmen. Daraus folgt sofort, dass das, was hinzugefügt wird, nichts ist. Aber wenn, wenn es subtrahiert wird, das andere Ding nicht kleiner ist, noch es erhöht wird, wenn es hinzugefügt wird, ist das Ding, das hinzugefügt oder subtrahiert wird, eindeutig nichts.

Dies scheint die früheste Quelle für das Paradoxon zu sein, aber nicht seine Auflösung, die mehrere Jahrtausende auf die Entwicklung des Begriffs einer Abstandsfunktion warten musste, mit der Sie die Länge einer unzählbaren Unendlichkeit von Punkten berechnen können.

Hat also jemand versucht, eine Antwort auf dieses Paradoxon zu geben, bevor die Mengenlehre eingeführt wurde?

Aristoteles gab die erste systematische Widerlegung von Zenon, insbesondere schrieb er in der Physik : „ …eine Linie kann nicht aus Punkten bestehen, da die Linie kontinuierlich und der Punkt unteilbar ist “. Nach Aristoteles kann eine Linie nur aus kleineren, unbegrenzt teilbaren Linien zusammengesetzt sein, nicht aus betragslosen Punkten. Dies war die Mainstream-Ansicht bis zur „Dissoziation“ des Kontinuums durch Cantor und Dedekind Ende des 19. Jahrhunderts. Unter dem neuen Paradigma wurde das Paradoxon durch die Lebesgue-Maßtheorie gelöst, die postulierte, dass die Länge nur zählbar additiv ist, sodass die kontinuumsweite Summierung von Punktlängen ungültig ist. Dies bestätigte die Ansicht von Aristoteles: Ein Kontinuum kann der Größe nach nicht aus Punkten zusammengesetzt werden.

Die Idee, dass das Kontinuum eine "Menge von Punkten" ist, führt zu einer Reihe von konzeptionellen Problemen, von denen dieses eines ist. Andere schließen seine gute Ordnungsfähigkeit ein, die die Leichtgläubigkeit strapaziert und die Existenz von nicht messbaren Lebesgue-Mengen impliziert, und die Unentscheidbarkeit der Kontinuumshypothese. Zermelo, Lebesgue und andere haben sich viel Mühe gegeben, die Intuition des Kontinuums mit der „arithmetischen“ Mengenlehre in Einklang zu bringen. Doch trotz der Einwände von Intuitionisten wie Hermann Weyl überwogen am Ende die Vorteile der Analyse bei weitem die Kosten für die meisten Praktiker. Weyls Ansichten wiederholten die von Aristoteles :„Die Vorstellung, dass eine Menge eine „Sammlung“ ist, die durch unendlich viele einzelne willkürliche Selektionsakte zusammengebracht, zusammengesetzt und dann als Ganzes vom Bewusstsein überblickt wird, ist unsinnig; „Unerschöpflichkeit“ ist wesentlich für das Unendliche ... Genaue Zeit- oder Raumpunkte sind nicht die ultimativen, zugrunde liegenden atomaren Elemente der Dauer oder Ausdehnung, die uns in der Erfahrung gegeben wird.

Es gibt eine wunderbare Diskussion zu diesem Thema in Kap. 3 von Weyls The Open World . Ich stimme Ihrer Behauptung nicht zu, dass der Nutzen die Kosten überwiegt; das war das gängige Vorurteil, auf das Weyl schließlich stieß, aber Bishops Konstruktive Analyse wurde gerade deshalb begrüßt, weil sie zeigte, wie moderne Analyse von diesem Standpunkt aus durchgeführt werden kann.
Ich meinte nur, dass die große Mehrheit der Analytiker Cantor-Dedekinds Kontinuum den Alternativen vorzog. Der am häufigsten genannte Grund war, dass Alternativen, einschließlich des Konstruktivismus, zu viele „unbequeme“ Beschränkungen dessen auferlegten, was in der Analyse getan werden kann.
Außerdem habe ich gelesen, dass eine gute Ordnung der Realzahlen nicht gezeigt werden kann (in einem Aufsatz von Thurston) - es gibt einige interessante verwandte Mathoverflow-Threads (z. B. diesen ). So mag der Leser selbst entscheiden, inwieweit er an die heutigen „Grundlagen der Mathematik“ glaubt.
Dasselbe gilt für nicht messbare Lebesgue-Mengen, Hamel-Basen, nichtlineare additive Funktionen, überall definierte unbeschränkte lineare Operatoren usw., keines davon kann gezeigt werden. Dies ist ein Preis, der für Dinge zu zahlen ist, wie z. B. dass jedes Feld einen algebraischen Abschluss hat, jedes Ideal in einem maximalen enthalten ist, sich jede begrenzte lineare Funktion über den gesamten Raum erstreckt usw. Dies sind Axiome der Wahl von Kompromissen. Es gibt jedoch eine Möglichkeit, das arithmetische Kontinuum und die Lebesgue-Maßtheorie beizubehalten (wobei alle Mengen Lebesgue-messbar sind!), Während das Axiom der Wahl en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model verworfen wird

Sie können sich Galileos Diskussion der Unendlichkeit in "Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences" ansehen: zB schlagen Sie Galileos Paradoxon nach .

Dies ist nicht weit von einer Nur-Link-Antwort entfernt.
Ich denke nicht, dass dies das Problem der Frage anspricht. Wie ich in einem Kommentar zu der Frage angemerkt habe, handelt es sich bei der Frage um eine Maßtheorie, nicht um eine Mengentheorie.

Siehe das in diesem Beitrag besprochene Buch .
Amir Alexander, Infinitesimal: Wie eine gefährliche mathematische Theorie die moderne Welt formte

Im 17. Jahrhundert gab es Streit darüber, ob eine Ebene aus einer unendlichen Schar paralleler Strecken besteht.

Gegenargument:

Haben diese Liniensegmente die Breite Null? Dann hätte die ganze Region die Fläche Null. Haben sie eine positive Breite? Dann kann es nur endlich viele davon geben.

Das ganze Buch ist interessant.

Was war die Antwort auf dieses Paradoxon vor Cantor?
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