Wer hat den Unterschied zwischen den Unendlichkeiten entdeckt?

Wie wir wissen, gibt es einen Unterschied zwischen der (unendlichen) Größe (oder Kardinalität ) der ganzen Zahlen und der Größe der reellen Zahlen ( ℵ 0 Und C = 2 ℵ 0 ).

Wer hat es zuerst entdeckt?

@Mauro: Warum nicht eine Antwort geben, damit Peterh sie akzeptieren kann und sie für zukünftige Benutzer hier ist?
Bitte verwenden Sie die Schreibweise nicht falsch: ℵ 1 ist nicht die Notation für die "Unendlichkeit der Realzahlen".
@AndresCaicedo Danke für die Korrektur - Entschuldigung, ich bin Programmierer :-)

Antworten (2)

Georg Cantor hat es entdeckt.

Sie können zumindest sehen: Die frühe Entwicklung der Mengenlehre :

Ende 1873 kam eine überraschende Entdeckung, die den Bereich des Transfiniten vollständig öffnete. In Korrespondenz mit Dedekind stellte Cantor die Frage, ob die unendlichen Mengen N der natürlichen Zahlen und R von reellen Zahlen können in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz gebracht werden. Als Antwort bot Dedekind einen überraschenden Beweis dafür, dass das Set A aller algebraischen Zahlen ist abzählbar (d.h. es besteht eine Eins-zu-eins-Korrespondenz mit N ). Wenige Tage später konnte Cantor diese Vermutung beweisen R abzählbar ist, führt zu einem Widerspruch. Dabei wandte er das Bolzano-Weierstraß-Prinzip der Vollständigkeit an. Damit hatte er gezeigt, dass mehr Elemente drin sind R als in N oder Q oder A , in dem genauen Sinne, dass die Kardinalität von R ist streng größer als die von N .

Sehen :

zur Definition von Potenz oder Kardinalzahl einer Menge.

Es gibt noch etwas hinzuzufügen, nämlich dass die eigentliche Definition der Kardinalität von Cantor stammt.

Es wird ziemlich schwierig, wenn nicht unmöglich, den ersten zu finden, der einen Unterschied zwischen Unendlichkeiten entdeckt hat. Aber es ist klar, dass dieser nicht George Cantor (1845-1918) war. Er kam viel später. (Cantor hat lediglich ein bestimmtes, ziemlich willkürliches Werkzeug entwickelt, nämlich die Eins-zu-Eins-Korrespondenz oder Bijektion, um seine Theorie darauf zu stützen.)

Eine sehr alte Quelle ist Robert Grosseteste (1168-1253), der sagte, dass tatsächlich Unendliches definitiv ist. In einem langen Zeitintervall gibt es mehr Momente als in einem kurzen. Die Anzahl der Punkte in einem Segment von einer Länge von einer Elle ist sein wahres Maß. https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf p. 106

Blaise Pascal (1623-1662) lehrte die Existenz der drei Ordnungen: unendlich klein, endlich und unendlich groß (und wandte sie auf Körper, Geist und Gott an).

Auch Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) unterschied drei Grade der Unendlichkeit.

Cantor selbst erwähnt Bernard de Fontenelle (1657-1757), der die tatsächlichen unendlichen Zahlen erfunden hat. (G. Cantor, Brief an A. Schmid, 26. März 1887, übersetzt in https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf S. 106)

Wir wissen, dass Leonhard Euler (1707-1783) verschiedene Unendlichkeiten akzeptierte. A / D X 2 quantitas infinita Unendlichkeiten maior quam A / D X (Der erste Term ist eine Menge, die unendlich viele Unendlichkeiten größer ist als der zweite). (W. Mückenheim: Die Geschichte des Unendlichen, 7. Aufl., Maro, Augsburg, S. 50)

Schon lange bevor Kantor Bernard Bolzano (1781-1848) Unendlichkeiten unterschied, gibt es beispielsweise doppelt so viele Brennpunkte von Ellipsen wie Mittelpunkte von Ellipsen. Es gibt unendlich viel mehr Kreisdurchmesser als Kreismittelpunkte. (J. BERG (Hrsg.): Bernard Bozen, Wissenschaftslehre §§ 1-45, Friedrich Frommann Verlag, Stuttgart (1985), Bozen-Gesamtausgabe, Reihe I Band 11,1, S. 31ff)

Dies ist nur eine kurze Liste, keineswegs vollständig, aber ausreichend, um zu zeigen, dass Cantor nicht der erste war, der verschiedene Unendlichkeiten unterschied.

Das war eine sehr interessante Antwort. Ich frage mich, warum es heruntergestimmt wurde.
@DukeZhou: Der Grund ist einfach der Satz "Cantor hat lediglich ein bestimmtes, eher willkürliches Werkzeug entwickelt". Es gibt viele Leute, die Cantor so sehr verehren, dass sie diesen Satz für ein Sakrileg halten. Wenn jemand es sogar wagt zu sagen, dass dies nicht nur ein willkürliches, sondern ein nutzloses Werkzeug ist, denn „für jedes n in N: n gehört zu einem endlichen Anfangssegment, dem unendlich viele natürliche Zahlen folgen, so dass die allgemeine Quantifizierung für unendliche Mengen und Äquikardinalität versagt beweist nichts über die gleiche Anzahl von Elementen ", wird die Aussage stark herabgestimmt oder sogar gelöscht.
Ich habe nicht abgelehnt, aber ich kann die Ablehnung verstehen: Die Frage fragt ausdrücklich nach der Entdeckung, dass natürliche und reelle Zahlen unterschiedliche Kardinalitäten haben. Ich verstehe nicht, wie Ihre Antwort darauf eingeht.
@Michael Bächtold: Die Entdeckung, dass es unendlich viel mehr Kreisdurchmesser als Kreismittelpunkte gibt, impliziert die Entdeckung, dass es unendlich viel mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen gibt. Wahrscheinlich hat Bozen dies in seinen gesammelten Werken erwähnt, aber da sie mehr als einen Meter im Bücherregal einnehmen, suche ich nicht eifrig danach.
Ich weiß nicht, wie ich die Aussage interpretieren soll, dass es unendlich viel mehr Durchmesser als Mittelpunkte gibt, um daraus das andere Ergebnis abzuleiten. Wenn Sie erweitern können, würde ich definitiv positiv stimmen.
Bolzano argumentiert: Jede Ellipse hat zwei Brennpunkte, aber ein Zentrum. Jeder Kreis hat einen Umfang (oder Mittelpunkt), aber unendlich viele Durchmesser. Die Durchmesser umfassen beliebige reale Winkel zwischen 0 und dem vollen Winkel, sagen wir 1. Es gibt unendlich viele Kreise (zumindest in der Vorstellung). Sie repräsentieren also alle natürlichen Zahlen, und die Durchmesser repräsentieren alle reellen Zahlen zwischen ihnen.
@Claus Ich kann dieses Argument von Bozen nicht nachvollziehen. Unter anderem gibt es unzählige verschiedene Kreise, wie können sie also die natürlichen Zahlen darstellen?
@Michael Bächtold: In Bozens Welt gibt es nichts „Unzählbares“. Er verneint ausdrücklich eine Bijektion als sinnvolles Maß für Unendlichkeiten. (Und das macht ihn nicht falsch.) Es gibt nur verschiedene Unendlichkeiten. Es gibt doppelt so viele ganze Zahlen wie gerade ganze Zahlen. Es gibt unendlich viele Würfel, aber ein Sechsfaches an Würfelflächen und ein Achtfaches an Würfelecken (mein Beispiel). Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen und unendlich viele Kreise. Und es gibt unendlich viel mehr rationale oder reelle Zahlen dazwischen und unendlich viel mehr Durchmesser der Kreise.
Danke fürs klarstellen. Ich müsste die Originalquellen lesen, um zu sehen, ob ich Bozen verstehen kann. (Ich verstehe nicht, wie man Bijektionen leugnen kann, um Unendlichkeiten zu vergleichen, und gleichzeitig ganze Zahlen mit geraden ganzen Zahlen vergleicht und daraus schließt, dass das doppelt so viele sind.) Jedenfalls schließe ich aus Ihren Bemerkungen, dass Bolzanos Begriff von verschieden ist Unendlichkeiten ist nicht dasselbe wie Cantors.
Was Bolzano anwendet, ist einfache Mathematik: Wenn für jede endliche Menge von Ellipsen das Verhältnis von Brennpunkten zu Zentren ist 2 , das kann sich nie ändern. „Niemals“ ist dasselbe wie „im Unendlichen“. In der Analyse wenden wir die Grenze an: Wenn wir die Folge haben 2 , 2 , 2 , . . . , dann ist seine Grenze 2 . Cantor verstößt gegen die Analyse. Für jedes Intervall ( 0 , N ) das Verhältnis von natürlichen Zahlen und nicht aufgezählten Brüchen dieses Intervalls ist 0 . Eine andere Grenze zu erhalten, ist in der Analysis unmöglich. Und es gibt keinen Streit ω unter den natürlichen Zahlen.
Wer hat den Unterschied zwischen den Unendlichkeiten entdeckt?
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