Hat du Bois-Reymond das Diagonalargument vor Cantor erfunden?

Diese Arbeit ist eine in einer Reihe von Arbeiten, in denen du Bois Reymond Funktionen auf der positiven reellen Linie untersuchte, die durch die "Ordnung der Unendlichkeit" (Ordnung des Wachstums im Unendlichen) geordnet sind, was er später als unendliche Pantachie bezeichnete. Dies wurde durch Versuche motiviert, eine "ideale Grenze" zwischen konvergierenden und divergierenden Reihen in Bezug auf das Wachstum ihrer Terme zu finden, analog zum Ausfüllen von Dedekind-Schnitten, um reelle Zahlen zu erhalten. Du Bois Reymond stellte mehr oder weniger fest, dass eine solche Vervollständigung nicht funktionieren würde. Später entwickelte Hausdorff eine moderne Theorie in cantorianischen Begriffen, die erklärt, warum die "Lücken" in den Wachstumsreihenfolgen größer sind, als zählbare Grenzen ausfüllen können. Diese werden jetzt als Hausdorff-Lücke bezeichnet, aber du Bois Reymond arbeitete nicht in Bezug auf die Kardinalität .

Fisher gibt einen detaillierten Bericht in Infinite and Infinitesimal Quantities of du Bois-Reymond and their Reception , hier ist die Referenz mit direktem Link:

Ueber asymptotische Werthe, infinitäre Approximationen und infinitäre Auflösung von Gleichungen , Mathematische Annalen 8 (1875) 363-414 (Nachtrage zur Abhandlung: Ueber asymptotische Werthe etc., 574-576).

Du Bois-Reymond definiert eine Ordnung der Unendlichkeit als größer als eine andere, wenn die Grenze des Quotienten ihrer darstellenden Funktionen unendlich ist. Er ist nicht sehr spezifisch in Bezug auf die Klasse der betrachteten Funktionen und übersieht anscheinend die Möglichkeit unvergleichlicher Ordnungen, ein Problem, das später von Borel und Hausdorff untersucht wurde. Dann analogisiert und kontrastiert er dieses Kontinuum der Ordnungen mit dem linearen Kontinuum der reellen Zahlen:

" Zwischen den beiden Bereichen gibt es viele Analogien... Statt der Zahlen als Fixzeichen im Bereich der Zahlen hat man im unendlichen Bereich der Größen eine unbegrenzte Anzahl einfacher Funktionen: die Exponentialfunktionen, die Potenzen, die logarithmischen Funktionen, die ebenfalls feste Vergleichspunkte bilden, und zwischen deren beliebig nahen Unendlichkeiten noch unendlich viele voneinander verschiedene Unendlichkeiten eingefügt werden können.

Diese als Zahlen dienenden Funktionen reichen nach heutigem Stand der Analyse von beliebig hoch gestapelten Exponentialfunktionen ... bis hin zu beliebig oft bis ins Unendliche wiederholten Logarithmen ... Hier stellt sich die Frage, ob man in dieses Intervall überhaupt einschließt von Unendlich den gesamten Bereich der Unendlichkeit, so dass man jede gegebene Unendlichkeit zwischen zwei Unendlichkeiten von Funktionen dieses Intervalls einschließen kann, wie es für jede Zahl in der Zahlenreihe möglich ist: Diese Frage habe ich bereits inhaltlich und tatsächlich beantwortet negativ... "

Er bezieht sich auf eine Arbeit von 1873, in der nur ein besonderer Fall betrachtet wurde. Diesmal gibt er eine allgemeinere Version, die Borel hoch gelobt und als Satz von du Bois-Reymond bezeichnet hat. Eine Folge davon und die Motivation ist die Nichtexistenz der "idealen Grenze", die durch eine Folge konvergierender/divergierender Reihen angegeben werden kann, wie Bertrand früher vorgeschlagen hat (er dachte an Reziproke zu Produkten von Potenzen und Potenzen von iterierte Logarithmen als Terme). Der Satz von du Bois-Reymond wäre das "Diagonalargument":

" ...wenn eine unbegrenzte Familie von immer langsamer wachsenden Funktionen funktioniert$\lambda_1(x), \lambda_2(x), \lambda_3(x)...$angegeben ist, welche für jeden$r$erfüllt die Bedingung$\lim\lambda_r(X)/\lambda_{r+1}(X) = \infty$, man kann immer eine Funktion angeben$\psi(x)$die mit unendlich wird$x$, aber langsamer als jede Funktion dieser Familie ".

Die Konstruktion von$\psi(x)$steht in einer Fußnote auf S. 365, und weist bei genauem Hinsehen eine gewisse "Diagonalität" auf. In du Bois-Reymonds Einstellung ist jedoch keine Kardinalität involviert (Hausdorff wird Lücken erst später mit Kardinalitäten in Verbindung bringen), daher erfordert es etwas Lektüre, es in das Diagonalargument aufzunehmen. In seinem 1882 erschienenen Buch Die allgemeine Funktionstheorie (The General Theory of Functions) du Bois-Reymond berührt die Cantorsche Mengenlehre und erwähnt, dass Cantor gezeigt hat, dass das „Kontinuum der Idealisten“ nicht zählbar ist. Er weist jedoch nicht auf eine Affinität zwischen dem diagonalen Argument, mit dem es gezeigt wurde, und seiner früheren Konstruktion hin, geschweige denn, einen Anspruch darauf zu erheben. Was auch immer die Beziehung zwischen den beiden war, es war du Bois-Reymond nicht klar.