Minimax-Theoreme sind schöne Sattelpunktergebnisse bezüglich Bedingungen an einer Funktion unter welchen . In der üblichen "Normalform"-Spielkiste, Und sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen entsprechend Spielerstrategien und ist bilinear. Das Ergebnis gilt jedoch für allgemeinere quasikonkav-quasikonvexe Funktionen , und um diese Unterscheidung geht es in dieser Frage!
Meine Frage ist: Was hat von Neumann (1928) bewiesen und hat Sion (1956) es tatsächlich verallgemeinert?
Hintergrund:
von Neumann veröffentlichte erstmals einen Minimaxsatz in „Zur Theorie der Gesellschaftsspiele“ (1928), möglicherweise hier erhältlich . Wenn ich Deutsch lesen könnte, müsste ich diese Frage nicht stellen, aber anscheinend gibt es keine englische Übersetzung .
1956 schrieb Sion "On General Minimax Theorems", verfügbar hier , in dem er behauptet, dass der Minimax-Satz von Neumann für bilineare Formen angegeben und bewiesen wurde . Sion behauptet, dass seitdem mehrere andere den Satz verallgemeinert haben, darunter Shiffman, der "scheinbar der Erste war, der konkav-konvexe Funktionen betrachtet hat ". Sion beweist das Ergebnis für quasikonkav-quasikonvex . Sein Ergebnis hat eine Wikipedia-Seite, die behauptet, es verallgemeinere von Neumanns.
Dies scheint endgültig. Aber wenn ich den sehr schönen historischen Aufsatz "John von Neumann's conception of the minimax theorem" (Kieldsen, 2001) richtig lese, der hier verfügbar ist , Abschnitt 2.3, dann bewies von Neumanns Originalaufsatz von 1928 ursprünglich bereits die Verallgemeinerung auf den quasikonvex-quasikonkaven Fall ! Die Übersicht zitiert direkt die deutsche Passage aus von Neumanns Aufsatz und gibt eine Zusammenfassung (jedoch keine vollständige Übersetzung).
Hatte sich Sion geirrt oder wusste er nicht, was von Neumann bewiesen hat? Wenn ja, waren die Referenzen, die er zitierte, ebenfalls falsch?
Ein möglicher Grund für die Verwirrung ist die Darstellung des Theorems in von Neumann und Morgensterns berühmtem englischsprachigem Buch „Theory of Games and Economic Behavior“ von 1944 (das ich sehr unangenehm zu lesen finde, aber egal). Obwohl Sattelpunkte in 13.4 und 13.5 besprochen werden, denke ich , dass der einzige Minimax-Satz, der in diesem Buch vorgestellt wird, für bilineare Formen in Abschnitt 17.6 gilt. Wenn Sie also nur das Buch lesen, denken Sie vielleicht, dass das Minimax-Theorem nur für Bilinear bewiesen wurde . Übrigens enthält dieser Abschnitt eine fast eine Seite lange Fußnote, die sich mit der Geschichte des Minimax-Theorems befasst. Es wird erwähnt, dass eine Verallgemeinerung in "tlber ein okonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung des Brouwer'schen Fixpunktsatzes", von Neumann 1937, bewiesen wurde. Diese verwendet Fixpunktsätze, wie sie von Kieldsen 2001 untersucht wurden, aber ich sehe es aus dieser Übersicht nicht etwas darüber, ob war in der Arbeit von 1937 nur bilinear oder allgemeiner. Also ich würde es gerne wissen
Was genau sind die übersetzten Aussagen der in von Neumann (1928) und von Neumann (1937) bewiesenen Minimaxsätze?
Das ist zu lang für einen Kommentar, aber ich konnte nicht auf die Übersetzungen zugreifen, daher kann ich keine Details angeben. Kieldsen (S.48ff) sagt: „ Eigentlich bewies von Neumann eine verallgemeinerte Version des Minimax-Theorems. Er betrachtete eine breitere Klasse von Funktionen als die bilineare Formsh... Heute wird eine Funktion mit der Eigenschaft (K) quasikonkav in ξ und quasikonvex genannt in η ".
Die Arbeit von 1928 wurde von Bargman als On the Theory of Games of Strategy übersetzt, veröffentlicht in Contributions to the Theory of Games, Band 4 , herausgegeben von AW Tucker & RD Luce, 1959.
Die Notiz, die dies ankündigt, wurde erst kürzlich von Ben-EL-Mechaiekh und Dimand, International Game Theory Review, Bd. 12, Nr. 2, S. 115–137 (2010) .
Die Arbeit von 1937 wurde von Morgenstern als A Model of General Economic Equilibrium, Review of Economic Studies 13 (1945–46), 1–9 übersetzt .