Da ist das bekannte Zitat von Hilbert: "Niemand soll uns aus dem Paradies vertreiben, das Cantor für uns geschaffen hat." [D. Hilbert: "Über das Unendliche", Mathematische Annalen 95 (1925) p. 167] Andererseits schließt Hilbert seine Arbeit:
Abschließend kehren wir zu unserem ursprünglichen Thema zurück und ziehen die Schlussfolgerungen all unserer Untersuchungen über das Unendliche. Unter dem Strich ergibt sich folgendes: Das Unendliche wird nirgends verwirklicht; es ist weder in der Natur vorhanden noch als Grundlage unseres rationalen Denkens zulässig – eine bemerkenswerte Harmonie von Sein und Denken. [loc cit, S. 190]
Weiter erdachte Hilbert „Hilberts Hotel“: Ein unendliches Hotel ist komplett mit Gästen gefüllt. Ein weiterer Gast kommt. Er bekommt Zimmer Nr. 1, nachdem jeder Hausgast um eine Nummer weitergezogen ist Zu . Es können sogar unendlich viele Gäste untergebracht werden, wenn jeder Hausgast seine Zimmernummer verdoppelt.
Hat Hilbert dieses Beispiel aufgestellt, um Cantors Liste entgegenzuwirken?
Hilberts Infite Hotel ist wirklich unendlich, unfertig, erweiterbar, aber Cantors Liste ist es nicht. Zwei unterschiedliche Interpretationen ein und derselben Unendlichkeit.
Nur das lässt den Schluss zu, dass die Antidiagonale als neuer Gast, der sich von allen ansässigen Gästen oder Einträgen der Liste unterscheidet, nicht etwa an erster Stelle eingefügt werden kann, wenn jeder andere Eintrag um eine „Zimmernummer“ weiterrückt. Ohne Cantors willkürliche Einschränkung könnten sogar alle unendlich vielen Antidiagonalen, die jemals konstruiert werden könnten, untergebracht werden. Der Satz von Cantor würde in Rauch aufgehen.
Meine Frage: Gibt es Beweise dafür, dass Hilbert dieses Gegenargument beabsichtigt hat? Oder hat er nicht erkannt, dass es sich um ein Gegenargument handelt? Aber was war dann sein Ziel?
Nein, das war er nicht, wie man aus Hilberts vollständigem Vortrag Über das Unendliche ersehen kann , der am 4. Juni 1925 vor einem Kongress der Westfälischen Mathematischen Gesellschaft in Münster gehalten und in den Mathematischen Annalen Bd. 95 (1926):
Lassen Sie uns zusammenfassend zu unserem Hauptthema zurückkehren und einige Schlussfolgerungen aus all unserem Denken über das Unendliche ziehen. Unser Hauptergebnis ist, dass das Unendliche nirgendwo in der Realität zu finden ist. Es existiert weder in der Natur noch bietet es eine legitime Grundlage für rationales Denken Denken – eine bemerkenswerte Harmonie zwischen Sein und Denken. Im Gegensatz zu den früheren Bemühungen von Frege und Dedekind sind wir davon überzeugt, dass bestimmte intuitive Konzepte und Einsichten notwendige Bedingungen wissenschaftlicher Erkenntnis sind und Logik allein nicht ausreicht. Das Arbeiten mit dem Unendlichen kann sein bestimmt nur durch das Endliche.
Dem Unendlichen bleibt nur noch die Rolle einer Idee – wenn man unter einer Idee in Kant's Terminologie einen alle Erfahrung transzendierenden und das Konkrete als Ganzheit vollendenden Vernunftbegriff versteht – die einer Idee, die wir auf den durch unsere Theorie errichteten Rahmen bedenkenlos vertrauen dürfen. "
„ Eine Idee, der wir bedenkenlos vertrauen dürfen “ klingt nicht gerade ambivalent. Hilbert war Formalist, kein Platoniker, er glaubte nicht, dass „eigentlich unendlich“ tatsächlich existiert, oder dass es existieren muss, um darüber zu sprechen. Seiner Meinung nach war es für die Mathematik mehr als genug, eine Kantische regulative Idee ("Noumenon") zu sein, endlich axiomatisiert in eine formale Theorie. Die einzige Voraussetzung ist, dass besagte Theorie widerspruchsfrei ist, und der ganze Vortrag sollte das sogenannte Hilbert-Programm zum Beweis der Widerspruchsfreiheit unendlicher Theorien mit endlichen Mitteln fördern.
Daraus sollte klar sein, dass Hilberts Hotel weder echt ist, noch dazu gedacht ist, Cantor entgegenzuwirken. Was Cantor im Diagonalargument angenommen oder nicht angenommen hat, ist umstritten, da es in endlich vielen Schritten aus mengentheoretischen Axiomen ableitbar ist. Eine Betrachtung von Hilberts früherem Vortrag von 1924, wo es beschrieben wird (zusammen mit einer ähnlich gesinnten unendlichen Tanzparty und einem Witz „ in einer Welt mit einer unendlichen Anzahl von Häusern und Bewohnern wird es keine Obdachlosen geben “), bestätigt dies. Es war eine Smalltalk-Einführung über den Unterschied zwischen dem Endlichen und dem Unendlichen, die sich an ein Laienpublikum richtete, es ist nicht mit Cantor verbunden, diskutiert oder sogar erwähnt in diesem Vortrag oder irgendeinem anderen, nachdem er eingeführt wurde. Hier ist aus The True (?) Story of Hilbert's Infinite Hotel von Kragh :
„ Es war nur ein Beispiel und eines, dem er keine besondere Bedeutung beimaß. Auch andere Leute fanden es damals nicht wichtig. Wäre das Hotel nicht mehr als zwei Jahrzehnte später von Gamow wiederbelebt worden, wäre es heute vielleicht unbekannt. Einzige Anspielung dazu vor 1947, das ich kenne, stammt aus einem Lehrbuch über Infinitesimalrechnung, das 1938 veröffentlicht und von Otto Haupt, einem Mathematiker an der Universität Erlangen, geschrieben wurde .
Mauro ALLEGRANZA
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Franz Kurz
Franz Kurz