Was war die Verbindung zwischen David Hilbert und Stefan Banach?

Es ist erwähnenswert, dass die abstrakte Definition eines Hilbert-Raums (als vollständiger Skalarproduktraum) nicht von Hilbert stammt. Weyl erzählt die Geschichte in seinem Gedenkessay „David Hilbert and His Mathematical Work“ (Bull. Amer. Math. Soc. v.50 p.612--654). In seiner Arbeit über Integralgleichungen untersuchte Hilbert nur einen bestimmten Hilbert-Raum: den Raum quadratsummierbarer unendlicher Folgen. Er verwendete keine Lebesgue-Integration; erst später zeigten Riesz und Fischer die Äquivalenz mit quadratintegrierbaren Lebesgue-Funktionen. Weyl fügt hinzu:

Ich erwähne diese Details, weil die historische Reihenfolge der Ereignisse bei vielen unserer jüngeren Mathematiker in Vergessenheit geraten sein mag, für die der Hilbert-Raum jene abstrakte Konnotation angenommen hat, die nicht mehr zwischen den beiden Realisierungen unterscheidet ...

(Es gibt auch eine apokryphe Geschichte, dass Hilbert einen Vortrag besuchte und am Ende auftauchte, um den Sprecher zu fragen: "Was ist ein Hilbert-Raum?")

Banach hingegen gab in seiner Dissertation die abstrakte Formulierung der Banachräume samt Motivation an:

Diese vorliegende Arbeit hat das Ziel, bestimmte Theoreme aufzustellen, die in mehreren verschiedenen Zweigen der Mathematik gelten, die später spezifiziert werden. Um aber diese Sätze nicht für jeden Zweig einzeln beweisen zu müssen, was sehr mühselig wäre, habe ich einen anderen Weg gewählt, nämlich diesen: Ich betrachte allgemein Mengen von Elementen, für die ich bestimmte Eigenschaften postuliere. Daraus leite ich Theoreme ab und beweise dann für jeden einzelnen Zweig der Mathematik, dass die angenommenen Postulate auf ihn zutreffen.

Mit anderen Worten, Banach sucht Beweisökonomie durch die axiomatische Methode. Seine Motivation ist also eine ganz andere als die von Hilbert.

Um auf Ihre ursprüngliche Frage zurückzukommen: Ich konnte keine persönliche Verbindung zwischen Hilbert und Banach aufdecken. Der Name "Banach" erscheint nicht im Index von Constance Reids Biographie Hilbert ; Der MacTutor-Eintrag für Hilbert enthält kein "Banach", und der MacTutor-Eintrag für Banach enthält nur ein einziges Vorkommen von Hilbert, wo er feststellt, dass Banachs Arbeit "die Beiträge von Volterra, Fredholm und Hilbert zu Integralgleichungen verallgemeinert hat".

Dieser eine Satz ist jedoch wahrscheinlich eine ausreichende Erklärung. Hilbert hat seine Arbeit an Integralgleichungen in den frühen 1900er Jahren durchgeführt und sie wurde bald von Riesz, Fischer, Schmidt und anderen weiterentwickelt. Banachs Dissertation wurde 1920 geschrieben. Es ist kaum verwunderlich, dass Banach bei seinem Einstieg in dieses Gebiet den einschlägigen veröffentlichten Arbeiten eines der führenden Mathematiker seiner Zeit große Aufmerksamkeit schenkte.

Zwischen Hilbert und Banach besteht meines Wissens keine besondere Verbindung. Da Hilbert einer der dominantesten Mathematiker der Zeit war, war sein Einfluss natürlich weit verbreitet.

Es wäre aber auch falsch, zuerst Hilbert und dann Banach als direkte Nachfolge zu betrachten. Es gab verschiedene Einflüsse und Beiträge zur Entwicklung der heutigen Banach-Räume. [Tatsächlich wurde der Begriff fast parallel auch von anderen eingeführt, insbesondere von Wiener. (Banach war derjenige, der am meisten davon profitierte und zu Recht den "Namenskredit" erhielt)] Andere Namen, die man neben Hilbert nennen könnte, sind Fredholm, Riesz, Fischer, Fréchet, Lebesgue.

Die Chronologie in Pietschs Geschichte der Banachräume und linearen Operatoren hat 12 Einträge (ab 1902) vor Banachs These im Jahr 1920.

In diesem Zusammenhang mag auch erwähnenswert sein, dass Banach 1924/25 Paris besuchte.

Es gibt keine bekannten Aufzeichnungen über eine persönliche Begegnung zwischen Banach und Hilbert. Aber die nicht so zufällige Verbindung zwischen den beiden war Hugo Steinhaus (Banachs Entdecker und späterer Mitarbeiter und Kollege), der ein Doktorand von Hilbert in Göttingen war. Steinhaus' Dissertation mit dem Titel Neue Anwendungen des Dirichletschen Prinzips , die 1911 verteidigt wurde, war in ihrer Herangehensweise an Variationsprobleme für partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung noch ziemlich traditionell.

Andererseits führte Banachs Doktorarbeit O operacjach na zbiorach abstrakcyjnych z zastosowaniami do równań cał kowych [Über Operationen auf abstrakten Mengen mit Anwendungen auf Integralgleichungen], die 1920 in Lemberg verteidigt wurde, grundlegende Begriffe und Eigenschaften linearer normierter vollständiger Räume ein (in an axiomatischer Weg) und wendeten sie auf durch Kernel definierte Integraloperatoren an. Die eigentliche These von Banach und ihre Verteidigung wurde zu Legenden, aber immerhin gibt es eine Veröffentlichung, die auf der These basiert, S. Banach, Sur les opérations dans les ensembles abstracts et leur application aux équations intégrales }, Fundamenta Mathematicae 3 (1922) , S. 133-181. In der Einleitung erwähnt Banach vorangegangene Arbeiten über „funktionelle Operationen“ von Volterra, Fréchet, Hadamard, F. Riesz, Pincherle, Steinhaus, Weyl, Lebesgue und anderen. Er würdigt insbesondere die Arbeiten von Hilbert, die seiner Meinung nach die Behandlung (der Räume von) quadratintegrierbaren Funktionen ermöglichten, nicht nur glatter Funktionen. Dies ist auch ein Beweis dafür, dass Banach Werke von Hilbert studierte, bevor er Paris besuchte.

Außerdem lebten Banach und Steinhaus 1917 beide in Krakau und nahmen an Treffen einer informellen mathematischen Gesellschaft teil. Weitere Mitglieder dieser Gruppe waren die Mathematiker Wlodzimierz Stozek, Wladyslaw Slebodzinski, Leon Chwistek (ebenfalls Philosoph und Maler) und der Physiker Jan Norbert Kroo, die alle einige Zeit in Göttingen studierten.