Ich kann mir Mathematik ohne Mengen nicht vorstellen, aber die Frage "wie war Mathematik, bevor es Mengen gab" ist meiner Meinung nach nicht beantwortbar. Stattdessen sollte eine gute Antwort auf die Titelfrage einen bestimmten Aspekt der allgemeineren Frage abdecken.
Eine unmittelbare Motivation für Cantor, an der Mengenlehre zu arbeiten, war seine frühere Arbeit an trigonometrischen Reihen. Um ein Problem in diesem Bereich zu lösen, betrachtete er die Menge (eine abgeschlossene Menge) von Nullstellen einer solchen Funktion, dann die abgeleitete Menge dieser Menge, die abgeleitete Menge dieser Menge und so weiter. Das ist alles noch klassisch, musste dann aber einen Schritt weiter gehen, um zuerst die Schnittmenge all dieser Mengen zu betrachten, und dann die abgeleitete Menge dieser Menge und so weiter.
So kam er dazu, über endliche Ordinalzahlen nachzudenken.
Dies wird an verschiedenen Stellen diskutiert, darunter „Set Theory and Uniqueness of Trogonometric Series“ von Kechris oder „ Uniqueness of trigonometric series and descriptive set theory, 1870–1985 “ von Roger Cooke (Archive for History of Exact Sciences, 1993)
Die Originalarbeit ist (glaube ich) "Ueber die Ausdehnung eines Satzes ais der Theorie der trigonometrischen Reihen (Math. Annalen, 1872)"
Eine weitere Motivation war seine frühere Arbeit zur Zahlentheorie. Mit einem sogenannten Diagonalisierungsargument konnte er Ergebnisse zur Existenz transzendenter Zahlen beweisen. Dies ist in seiner Arbeit von 1874 „Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen“ („On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers“)
Kurz gesagt, die ursprüngliche Motivation bestand darin, bessere Werkzeuge zu haben, um bei bestehenden Problemen Fortschritte zu erzielen.
Tatsächlich arbeitete Cantor an einem speziellen Problem aus der Theorie der trigonometrischen Reihen , dem sogenannten Eindeutigkeitsproblem (ich kann nicht genauer werden, bis MathJax auf dieser Seite vorgestellt wird). Dieses Problem führte ihn zur Betrachtung willkürlicher Mengen auf der reellen Linie. Ich meine kompliziertere Mengen als endliche Mengen oder endliche Vereinigung von Intervallen. Zu dieser Zeit gab es keine Werkzeuge und keine Terminologie, um beliebige Mengen zu studieren, also musste all dies erstellt werden.
Im Verlauf dieser Studie schuf er nicht nur die Mengenlehre, sondern auch das, was man heute Allgemeine Topologie nennt. (Es ist interessant festzustellen, dass das ursprüngliche Problem mit trigonometrischen Reihen bis heute keine vollständige Lösung hat :-)
Die ursprüngliche Beweismethode, das sogenannte „Diagonalverfahren“, geht auf Cantors Vorgänger Paul du Bois Reymond zurück , der sich ebenfalls mit trigonometrischen Reihen beschäftigte.
Cantor selbst zufolge war es sein Wunsch, die mechanische Erklärung der Natur durch eine vollständigere Theorie zu ersetzen. Siehe mehrere Aspekte in Was von Cantors Behauptungen ist wahr geworden? ?
Ali Caglayan
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