Kronecker gegen Cantor – wer hat gewonnen?

Nein, Cantor hat nicht "gewonnen", aus einem ganz einfachen Grund: Das Rennen ist noch nicht vorbei. Cantor mag an der Spitze stehen, aber es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass Kronecker ( oder jemand anderes ) in 100 oder 200 Jahren nicht an der Spitze stehen wird. Außerdem ist es falsch zu sagen, dass X die Grundlage der Mathematik ist. Es gibt mehrere Konkurrenten für diesen Titel, und die beste Wette (IMO) ist, dass es keine wahre "Grundlage" für Mathematik gibt.

PS Die Hauptkonkurrenten sind heute die Kategorientheorie und die (Homotopie-)Typentheorie. Es gibt wahrscheinlich noch andere, aber die beiden sind ziemlich bekannt.

Besonders gern. Heute würde jemand, der Kroneckers Position vertritt, als Spinner (ähnlich wie ein Finitist) angesehen werden. Kronecker plädierte für weit mehr als nur „konstruktive Mathematik“; Er glaubte Dinge wie:

• Es gibt keine Menge, die alle Teilmengen einer unendlichen Menge enthält (wie die ganzen Zahlen oder die rationalen Zahlen).
• Die Eigenschaft der verschachtelten Intervalle (dass alle unendlichen Folgen verschachtelter geschlossener Intervalle einen gemeinsamen Punkt haben) kann fehlschlagen (selbst in der konstruktiven Mathematik gilt diese Eigenschaft für Folgen, die durch einen Algorithmus gegeben sind).
• Folglich glaubte er, dass irrationale und transzendente Zahlen nicht existieren (es gibt konstruktive Beweise dafür, dass Zahlen mögen$\pi$Und$e$existieren, und jeder klassische Beweis, dessen Ergebnis eine Negation ist, ist auch in der konstruktiven Logik gültig, also sind sie transzendent).
• Aus ähnlichen Gründen würde Kroneckers Argument implizieren, dass es keine Menge reeller Zahlen gibt (selbst wenn die Existenz einzelner irrationaler oder transzendentaler Zahlen zugestanden würde).
• Und im Allgemeinen würde Kronecker die Existenz unabzählbarer Zahlen leugnen (Brouwer beispielsweise ging davon aus, dass die reellen Zahlen unabzählbar seien).

Es gibt also eine lange Liste von Thesen Kroneckers, an die moderne Konstruktivisten nicht glauben; Sie könnten Aspekte von Cantors Mengenlehre kritisieren, aber nicht das gesamte Konzept der unendlichen Mengen, wie es Kronecker tat.

Die Mengentheorie gab es bereits, bevor Cantor sie benutzte, um seinen Begriff der Kardinäle zu theoretisieren. Es ist daher ein Fehler, seinen Namen nur mit der Mengenlehre in Verbindung zu bringen, und ich persönlich denke, er selbst wäre entsetzt, so geehrt zu werden. Wie fast alle großen Mathematiker wusste er, wie viel er sowohl seinen Kollegen als auch seinen Vorgängern zu verdanken hatte.

Es ist auch ein Fehler, Mathematik als Wettbewerb oder Rennen zu betrachten. Dadurch wird es zu einer Art Gesellschaftsspiel, was es ausdrücklich nicht ist. Politisch gesehen ist es symptomatisch für den Neoliberalismus – ein Horizont, unter dem die Wissenschaft als Ganzes nicht so erfolgreich ist, wie sie sollte – was vielleicht der Sinn neoliberaler Disziplinsysteme ist.

Die Antwort auf Ihre Frage lautet also - es ist die falsche Frage.

Kronecker gewann, Cantor verlor. Viel Beweismaterial für diesen Fall findet sich in https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf

BEARBEITEN

In Kapitel V hat Mückenheim eine enorme Menge von über 250 kritischen Stimmen gesammelt, von denen die meisten die Mengenlehre oder ihre Grundannahme, nämlich die tatsächliche oder vollendete Unendlichkeit, direkt ablehnen.

Weiterhin wendet er die mathematische Limittheorie der Analysis an, um zu zeigen, dass nicht alle rationalen Zahlen auf natürliche Zahlen abgebildet werden können. Dass jede rationale Zahl auf ihre eigene natürliche Zahl abgebildet werden kann, sei irrelevant, sagt er, denn jede rationale Zahl gehöre zu einem endlichen Anfangssegment, auf das potenziell unendlich viele rationale Zahlen folgen. Die mathematische Grenze der nicht abgebildeten Rationalen ist unendlich. Er liefert überzeugende Beweise und einen formellen Beweis, der meines Wissens nie widerlegt wurde. Wenn man also die Mengenlehre so nimmt, wie sie ist, steht sie im Widerspruch zur Analysis und kann daher nicht ihre Grundlage sein.

Dann hat er gezeigt, dass eine irrationale Zahl niemals durch ihre Ziffernerweiterung definiert werden kann, da keine Zahl definiert ist, wenn die letzte Ziffer nicht bekannt ist. Wenn nur eine Ziffernfolge gegeben ist – ohne eine endliche Formel wie „0,111…“, die die Folge definiert – dann ist keine reelle Zahl festgelegt. Daher liefert Cantors Diagonalargument keine feste reelle Zahl, geschweige denn eine transzendente Zahl. Die endlichen Formeln wie die bekannten für$e$oder$\pi$sind jedoch zählbar. Übrigens hat sogar Hessenberg, ein starker Befürworter der Mengenlehre und Autor des berühmten Unabzählbarkeitsbeweises unter Verwendung aller Teilmengen der natürlichen Zahlen, erkannt, dass „eine Aussage über die durch den Prozess definierte Zahl, die nur diese Zahl betraf, wäre erst nach Abschluss des Prozesses möglich – und dieser Prozess kann nicht abgeschlossen werden."

Schließlich zeigt Mückenheim, dass unter Annahme der Zählbarkeit der Mengenlehre (im Gegensatz zu ihrem Widerspruch zur Analysis) alle Denkobjekte auch in einem unendlichen und ewigen Universum durch ihre rationalen raumzeitlichen Koordinaten aufgezählt werden können. Daher gibt es nichts Unabzählbares.

Es gibt viele andere Argumente. Aber ich würde empfehlen, zuerst die Aussagen in Kapitel V zu lesen. Sie zeigen, dass bei weitem nicht alle Mathematiker Cantors Sieg über Kronecker zustimmen.