Wie wichtig war die Fourier-Analyse für die Entwicklung der Mengenlehre?

Es war eher eine Fourier-Reihe als eine Fourier-Transformation. Angesichts der Tatsache, dass die Mengen, in denen Fourier-Reihen konvergieren, sehr kompliziert sein können, ist es nicht verwunderlich, dass sie Cantor dazu veranlassten, die Mengenlehre für Teilmengen reeller Zahlen zu entwickeln. Aber irgendwann wandte er sich dem Abstrakten zu (für das er heute am besten bekannt ist), das nicht wirklich durch das anfängliche Problem motiviert war, sondern seinen eher metaphysischen Interessen entsprach, siehe Ternullo, Gödels Cantorianismus .

Das spezifische Problem, das Heine Cantor stellte, war das folgende, siehe Srivastava, How did Cantor Discover Set Theory and Topology? Angenommen, eine trigonometrische Reihe konvergiert gegen$0$punktweise müssen alle seine Koeffizienten sein$0$sowie? Im Wesentlichen ist es das Eindeutigkeitsproblem für die Foureier-Reihe. Dirichlet, Heine, Lipschitz und Riemann versuchten sich daran, konnten das Ergebnis aber nur unter starken Einschränkungen beweisen (zB Heine nahm gleichmäßige Konvergenz an).

Cantor konnte es nicht nur in aller Allgemeinheit beweisen (1870), sondern bemerkte auch, dass die Annahme der punktweisen Konvergenz überall gelockert werden konnte. Er führte eine "Menge der Eindeutigkeit" als eine solche Menge ein, dass die Eindeutigkeit durch punktweise Konvergenz außerhalb davon sichergestellt ist. Unter Verwendung von Heines Begriff des "Kondensationspunktes" (jetzt Grenz- oder Häufungspunkt) definierte Cantor die abgeleitete Menge $P'$eines Satzes$P$als Menge seiner Kondensationspunkte. Das hat er dann als erster (1871) bewiesen$P'=\emptyset$war ausreichend für$P$ein Satz von Einzigartigkeit zu sein, und später sogar$P^{(n)}=\emptyset$für einige endlich$n$genügte. Es ist die abgeleitete Mengenkonstruktion, die als Sprungbrett für Cantors mengentheoretische und punktmengentopologische Durchbrüche diente.

Der Beweis erforderte insbesondere eine Präzisierung des Begriffs der reellen Zahlen und führte zu Cantors Konstruktion derselben in Form von Cauchy-Folgen rationaler Zahlen. Danach verlagerte sich Cantors Interesse von der trigonometrischen Reihe auf die abstrakteren Eigenschaften von Punktmengen von Realzahlen und dann auf abstrakte Mengen im Allgemeinen. Er führte abzählbare (jetzt zählbare) Mengen ein, identifizierte rationale und algebraische Zahlen als abzählbar und bewies dann die Nichtabzählbarkeit offener reeller Intervalle. Dies führte zu der Idee, "Größen" unendlicher Mengen, ihrer Kardinalitäten und schließlich zum Diagonalargument und zur Kontinuumshypothese zu vergleichen.

In einer anderen Untersuchungsrichtung, nachdem Beispiele für solche Mengen gefunden wurden$P^{(n)}\neq\emptyset$für jede Endlichkeit$n$, Cantor erweiterte die Rekursion ins Transfinite (seine Ergebnismenge der Eindeutigkeit gilt weiterhin when$n$durch eine beliebige zählbare Ordnungszahl ersetzt wird). Transfinite Ordnungszahlen waren eine neue Vorstellung, die er einführen, entwickeln und gegen die aristotelischen Vorurteile über die tatsächliche Unendlichkeit verteidigen musste, siehe Warum hat Cantor (und andere) c für das Kontinuum verwendet? Aus diesem Ideenkreis stammen die transfinite Induktion sowie die Begriffe der dichten und perfekten Menge. Aber die endgültige Lösung des Eindeutigkeitsproblems für die Fourier-Reihe war nach Cantors Ansicht nicht mehr und musste bis zur Einführung der Lebesgue-Maßtheorie warten. Es stellte sich heraus, dass die Mengen der Eindeutigkeit die Mengen des Lebesgue-Maß Null waren.

Leider habe ich keine konkrete Referenz ... aber ich erinnere mich, dass Cantors früheste Arbeit sich mit "Mengen der Eindeutigkeit" für Fourier-Reihen befasste (ich denke nicht Fourier-Transformationen, aber ich könnte mich leicht irren).

Dies wäre vergleichbar mit anderen "konstruktiven" Analyseprojekten des späten 19. Jahrhunderts, bei denen Grenzen von Grenzen von ... kontinuierlichen ... Funktionen genommen wurden. Sogar bis ins frühe 20. Jahrhundert gab es Versuche, Teilmengen der echten Linie zu "klassifizieren", aber/und nach meinem Verständnis stellte sich heraus, dass es zu viele und zu komplizierte solche Mengen gibt.

Ein Teil dieses Klassifizierungsversuchs beinhaltete transfinite Grenzen ... ohne dieses Wort zu verwenden. Vor langer Zeit hatte ich einige Dover-Nachdrucke einiger archaischer „Real Analysis“-Texte, die diesen Ansatz verfolgten.

Paul Garrett hat die Idee.$E \subseteq \mathbb R$ist eine Menge der Eindeutigkeit, wenn: eine trigonometrische Reihe gegeben ist$\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{int}$, wenn es gegen konvergiert$0$außer möglicherweise an$E$, Dann$c_n = 0$für alle$n$.

Hier ist eine Beschreibung.

Die leere Menge ist eine Menge der Eindeutigkeit. Dies ist nur eine schicke Art zu sagen, dass es trivial ist, wenn eine trigonometrische Reihe überall gegen Null konvergiert. Dies wurde von Riemann bewiesen, indem er eine feine Technik der doppelten formalen Integration verwendete; und zeigen, dass die resultierende Summe eine verallgemeinerte Art der zweiten Ableitung unter Verwendung von Toeplitz-Operatoren hat. Später verallgemeinerte Cantor Riemanns Techniken, um zu zeigen, dass jede abzählbare, abgeschlossene Menge eine Menge von Eindeutigkeit ist, eine Entdeckung, die ihn zur Entwicklung der Mengenlehre führte.

Cantors Forschung (glaube ich) verlief so. Eine endliche Menge$E$ist eine Menge von Einzigartigkeit. Ein Satz$E$mit endlich vielen Grenzpunkten ist eine Eindeutigkeitsmenge. Eine Menge, deren Grenzpunkte endlich viele Grenzpunkte haben, ist eine Eindeutigkeitsmenge. Als er damit fortfuhr, wurde Cantor zu transfiniten Ordnungszahlen geführt ... Natürlich waren "abzählbar" und "geschlossen" keine Standardbegriffe, als er dies tat.

Hier sind die Verweise auf die Originalarbeiten von Cantor:

Über einen Satz über trigonometrische Reihen. (Über einen die trigonometrischen Reihen betreffenden Lehrsatz.) Borchardt J. LXXII, 130-138 (1870).

Beweis, dass eine Funktion, die für jeden reellen Wert von durch eine trigonometrische Reihe gegeben ist, nur eine Darstellung in dieser Form hat. (Beweis, dass eine für jeden reellen Werth von durch eine trigonometrische Reihe gegebene Funktion sich nur auf eine einzige Weise in dieser Form darstellen lässt.) Borchardt J. LXXII, 139-142 (1870).

Über trigonometrische Reihen. (Ueber trigonometrische Reihen.) Clebsch Ann. IV, 139-143 (1871).

Zur Erweiterung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen. (Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen.) Clebsch Ann. V, 123-133 (1872).

Borchardt J. = Zeitschrift für die reine und angewandte Mathematik,

Clebsch Ann. = Mathematische Annalen.

Beide Zeitschriften sind im Internet verfügbar.