Wann hat die Mengenlehre die Theologie abgeworfen?

„Die allgemeine Mengenlehre […] gehört definitiv zur Metaphysik. Man kann sich leicht bei der Untersuchung der Kategorien der Kardinalzahlen und des Ordnungstyps, dieser Grundbegriffe der Mengenlehre, vom Grad ihrer Allgemeingültigkeit überzeugen. [... ] und die Tatsache, dass meine derzeit geschriebene Arbeit in mathematischen Zeitschriften veröffentlicht wird, ändert nichts am metaphysischen Inhalt und Charakter dieser Arbeit.[...] Durch mich wird die christliche Philosophie zum ersten Mal mit der wahren Lehre des Unendlichen in ihrer Natur konfrontiert Anfänge." [G. Cantor, Brief an T. Esser (15.2.1896)]

„Ich muss Ihre Aufmerksamkeit auf zwei Tatsachen lenken: 1. auf die unzerreißbaren Bande, die Metaphysik und Theologie verbinden, indem letztere der Leitstern ist, nach dem sich erstere richtet. […] Es folgt ein Dreifaches: a) Bei metaphysischen Diskussionen ist es manchmal unvermeidlich, dass die Theologie mitmacht und reichere symbolische Einsichten in Bezug auf die Geheimnisse der Religion, als erwartet oder vorhergesehen wurde." [G. Cantor, Brief an T. Esser (15.2.1896)]

"[...] es ist klar, dass die theologischen Überlegungen, mit denen Cantor seine Vorstellung vom tatsächlichen Unendlichen motivierte, metaphysischer Natur waren." [A. Heyting: „Technik versus Metaphysik im Kalkül“, in Imre Lakatos (Hrsg.): „Probleme in der Philosophie der Mathematik“, Nordholland, Amsterdam (1967) p. 43]

"Cantor ist wahrscheinlich der letzte Exponent der Newtonschen Haltung gegenüber der Religion." [H. Meschkowski, W. Nilson: "Georg Cantor Briefe", Springer, Berlin (1991) p. 15]

„[...] es war für mich eine gewisse Genugtuung, wie seltsam Ihnen das auch erscheinen mag, in Exodus, Kap. XV, Vers 18 zumindest etwas zu finden, was an transfinite Zahlen erinnert, nämlich den Text: ‚Der Herr regiert in der Unendlichkeit (Ewigkeit) und darüber hinaus.' Ich denke, dieses „und darüber hinaus“ deutet darauf hin, dass ω ist nicht das Ende, sondern dass etwas darüber hinaus existiert.“ [G. Cantor, Brief an R. Lipschitz (19.11.1883)]

"Vergleiche die übereinstimmende Wahrnehmung der ganzen Zahlenfolge als ein tatsächlich unendliches Quantum durch St. Augustin (De civitate Dei. lib. XII, Kap. 19) [...] Während jetzt St. Augustin die totale, intuitive Wahrnehmung der Menge beansprucht ( v ), 'quodam ineffabili modo', a parte Dei, anerkennt er diese Menge zugleich formal als eine wirklich unendliche Größe, als ein transfinitum, und wir sind gezwungen, ihm darin zu folgen.“ [G. Cantor, Brief an A. Eulenburg (28. Februar 1886)]

Also nach Cantor, dem Erfinder der Mengenlehre, Mengenlehre S durch den folgenden Syllogismus, ist Teil der Theologie T :

S ⊆ M ∧ M ⊆ T ⇒ S ⊆ T

Es scheint, als würden sich heutige Mengentheoretiker nicht gerne an die Wurzeln erinnern. Aber wurden sie jemals geschnitten, und wenn ja, wann und wo?

Fragen Sie, wann sich die Wahl der Axiome der Mengenlehre von dem, was Cantor seiner Überzeugung nach aus seinen religiösen Ansichten befolgte, zu einer engeren Wahl der Mathematiker veränderte? Wahrscheinlich zu der Zeit, als jemand außer ihm ST als unumstößlich betrachtete.
@Alexandre Eremenko : Hast du jemals Cantors "Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten" gelesen? Wussten Sie, dass der Name Kardinalzahlen zum ersten Mal in Korrespondenz mit einem Kardinal erscheint?
@JG Ich frage nicht nach den Axiomen, die Zermelo 1908 in seinen Grundlagen eingeführt hat. Ich frage, ob die Axiome dem religiösen Glauben nachempfunden waren (wie Euklids geometrische Axiome der Ebene und dem Raum nachempfunden waren). Insbesondere die Existenz von mehr reellen Zahlen, als jemals im Universum definiert werden konnten, ist ein Hinweis auf Gott.
Gemäß der verfügbaren Online-Etymologie wurde die Kardinalnummer erstmals in den 1590er Jahren verwendet und hat daher möglicherweise nichts mit Cantors Anrede eines Kardinals zu tun. Lateinisch cardinalis bedeutet "Principal, Chief, Essential".
@ Nick R: Ich weiß. Cantor verwendete es jedoch erst 1886 in einem Brief an Kardinal Franzelin.
Das behauptest du M (Metaphysik) ist eine Teilmenge von T (Theologie) ist, nun ja, zweifelhaft. Behaupten Sie, dass dies Cantors Überzeugung war? Es mag Verbindungen geben, wie Cantor feststellt, aber eine richtige Einbeziehung folgt nicht. Sicherlich hätte kein Philosoph eine solche Behauptung aufgestellt.
@ Nick R: Wenn "unzerreißbare Bande" Metaphysik und Theologie verbinden, indem "letzteres der Leitstern ist, nach dem sich ersteres ausrichtet", dann gibt es zumindest eine gewisse Inklusion .
Jeder Versuch, Mathematik, Naturwissenschaften oder andere Realitäten mit der Theologie zu verbinden, wird garantiert scheitern. Jede Person führt ihre eigene Interpretation oder kognitive Dissonanz durch, um ihre persönlichen Annahmen zu rechtfertigen.

Antworten (2)

Es war nie wirklich verbunden. Cantors mathematische Arbeiten enthalten nichts von der Art, die Sie zitieren. Dass Cantor selbst an Theologie interessiert war, ist nicht relevanter als Newtons Interesse daran. Aber Sie fragen nicht: "Wann warf die Mechanik die Theologie?" Sie waren nie verwandt. Aber eine Person kann über mehrere verschiedene Themen schreiben.

Newton hat viel Alchemie und Theologie betrieben, aber im Gegensatz zu Cantor keine Mechanik oder Mathematik darauf gegründet. "Einer der Beweise geht von der Vorstellung Gottes aus und schließt zuerst von der höchsten Vollkommenheit des Höchsten Wesens auf die Möglichkeit der Erschaffung eines Transfinitum ordinatum, dann von Gottes liebender Güte und Herrlichkeit auf die Notwendigkeit eines tatsächlich geschaffenen Transfinitum." (Kantor: Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten.)
Ich sprach von seinen MATHEMATISCHEN Arbeiten.
"Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten" ist eine mathematische Abhandlung. Sie enthält eine „erweiterte, rein mathematische Theorie der Ordnungstypen“. Das ist nicht nur meine Meinung, sondern ein Zitat von Zermelo. Es ist einfach unmöglich, Mengenlehre und Theologie zu unterscheiden (weil die Mengenlehre definitiv zur Metaphysik gehört).
"daß zu dem Begriff einer Zahl die Endlichkeit gehörte, und daß andrerseits das gleiche wahre Unendliche oder Absolute, welcher Gott ist , ohne Bestimmung gestattet. Was den letzteren Punkt anbetrifft, so stimme ich, wie es nicht anders sein kann, allein völlig bei" ... "Omnia seu finita seu infinita definita sunt et excepto Deo ab intellectu determinari possunt."... " Thomas von Aquino , Opuscula, XLII de natura generis, cap. 19 et 20; XXXII de natura materiae et de dimensionibus interminatis. " (Cantor: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, 1883)
@Wilhelm: Meiner Meinung nach gehört die Mengenlehre zur Mathematik, und Cantor hat sie entdeckt, als er eine konkrete Frage zu Fourier-Reihen untersuchte. Dass Cantor selbst es irgendwie mit Theologie in Verbindung gebracht hat, ist von historischem Interesse, aber das bedeutet nicht, dass die Mengenlehre selbst mit Theologie verwandt war.
@Alexander: Cantor entdeckte potenziell unendliche Mengen. Dann schaltete er auf die tatsächliche Unendlichkeit um. Dazu gehört als prominentestes Beispiel die Erschöpfbarkeit und Grenze ω der geordneten Menge (1, 2, 3, ..), oft auch mit bezeichnet ω . Kann dieses Set fertiggestellt oder vervollständigt werden? Machen Sie ein Karussell, um diese Frage zu modellieren. Seine Umdrehungen können gezählt werden. Wenn also die Mengenlehre richtig ist und zur brauchbaren Mathematik gehört, wird es eine Grenze geben. Was ist es?

Cantors metaphysische Ansichten sind wahrscheinlich weitgehend irrelevant im Vergleich zu seinem dauerhaften Beitrag zu den heute allgemein verwendeten mengentheoretischen Grundlagen. Dennoch könnte es hier ein interessantes Thema geben, das mit der mathematischen Moderne zu tun hat. Viele Historiker verbinden heute die mathematische Moderne mit der Cantorschen Mengenlehre und Hilberts Formalismus. Aus dieser Sicht gehört Cantor zu den Frühmodernen. Natürlich besteht hier eine Spannung zwischen Cantors metaphysischen Ansichten einerseits und dem Versuch, ihn als einen Modernen darzustellen. Besonders problematisch werden solche Haltungen unter Historikern, wenn sie mit Versuchen einhergehen, andere Mathematiker als gegenmodern darzustellenund insbesondere Felix Klein. Unsere Einschätzung der Arbeit solcher Historiker, darunter Herbert Mehrtens und Jeremy Gray, soll 2017 in Mat.Stud erscheinen. und ist auf dem arxiv verfügbar .

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