Haben Galileis Schriften über die Unendlichkeit Cantor beeinflusst?

Heute Morgen [13. November 2014] habe ich mehrere Stunden damit verbracht, viele Cantor-bezogene Papiere und Bücher durchzugehen, die ich habe, und ich bin jetzt fast überzeugt, dass Galileo wahrscheinlich keinen Einfluss auf Cantor hatte und Galileo sehr wenig, wenn überhaupt, Einfluss auf andere Mathematiker hatte. Ich glaube zum Beispiel, dass es bis 1890 keine deutsche Übersetzung von Galileis „Zwei neuen Wissenschaften“ gab. (Da bin ich mir allerdings nicht ganz sicher.)

Ich habe die relevanten Dinge, die ich heute Morgen gefunden habe, als Auszüge und Kommentare in Verbindung mit der folgenden Bibliographie aufgezeichnet. Die Artikel in dieser Bibliographie sind (bei weitem) nicht die einzigen Aufsätze und Bücher, die ich mir angeschaut habe. Ich habe diese Artikel aus mehreren Gründen ausgewählt: wegen ihrer Relevanz für das Problem mit Galileo (und mit Bolzano), wegen ihres Interesses für Leute, die an der gestellten Frage interessiert sind, was Cantor dazu motiviert hat, die Mengenlehre zu erfinden, und für ihr Interesse an Menschen, die sich für Unendlichkeitsfragen des 19. Jahrhunderts interessieren. Fürs Protokoll, die anderen Artikel und Bücher, die ich durchgesehen habe, waren von Irving Henry Anellis, Roger Lee Cooke, José Ferreirós, Abraham Adolf [Adolph] Halevi Fraenkel, Michael F. Hallett, Thomas William Hawkins, Ernest William Hobson, Arie Hinkis, Phillip Eugene Johnson, Philip Edward Bertrand Jourdain, Akihiro Kanamori, Fjodor Andrejewitsch Medwedew und viele andere.

[1] Carl Benjamin Boyer, Die Begriffe der Infinitesimalrechnung. A Critical and Historical Discussion of the Derivative and the Integral , Columbia University Press, 1939, vii + 346 Seiten.

Nachdruck von Hafner Publishing Company im Jahr 1949 (xii + 346 Seiten) und von Dover Publications im Jahr 1959 (Titel geändert in The History of the Calculus and Its Conceptual Development , xii + 346 Seiten). (ab S. 270-271)„[Bolzanos] Ansicht ähnelt in dieser Hinsicht der von Galilei, auf den er sich in diesem Zusammenhang bezog. [Fußnote 11, hier weggelassen] Obwohl er die Existenz unendlich großer und unendlich kleiner Größen leugnete, behauptete er mit Galilei die Möglichkeit von eine tatsächliche Unendlichkeit in Bezug auf die Aggregation. Er bemerkte in Bezug auf solche Assemblagen das Paradoxon, auf das Galileo hingewiesen hatte: dass der Teil in diesem Fall in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit dem Ganzen gebracht werden könnte. [...] [Bozens] Werk blieb weitgehend unbeachtet, bis es mehr als ein halbes Jahrhundert später von Hermann Hankel wiederentdeckt wurde."

[2] Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor, Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten 5, Mathematische Annalen 21 (1883), 545-591.

[3] Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre: Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen, BG Teubner (Leipzig ), 1883, 47 Seiten.

Dies ist ein separater Druck von Cantors obigem Aufsatz (S. 545-591), in dem ein halbseitiges Vorwort und 4 Fußnoten hinzugefügt wurden (diese sind zusätzlich zu den Endnoten der Mathematischen Annalen, die auch hier erscheinen). In der Veröffentlichung von Cantors „Gesammelten Werken“ von 1932 werden diese Ergänzungen weggelassen.

[4] Louis [Ludovicus] Couturat, De L'Infini Mathématique [Über die mathematische Unendlichkeit], Félix Alcan (Paris), 1896, xxiv + 667 + 1 (Errata) Seiten.

„Galileo“ kommt in diesem Buch nicht vor, wie ich in der .pdf-Datei nach einer Wortsuche gesucht habe. Diese Arbeit ist eines von zwei Manuskripten, die Couturat geschrieben und für seine Promotion eingereicht hat. an der Sorbonne (Paris). Das andere Werk ist De Platonicis Mythis (1896, v + 119 Seiten), ein literarisches Werk in lateinischer Sprache, das sich mit den Schriften des griechischen Philosophen Plato befasst (insbesondere mit dem Versuch, dogmatische Passagen von ironischen und allegorischen Passagen zu unterscheiden).

[5] Joseph Warren Dauben, CS Peirces Philosophie der unendlichen Mengen , Mathematics Magazine 50 #3 (Mai 1977), 123-135.

[6] Joseph Warren Dauben, Georg Cantor: Die persönliche Matrix seiner Mathematik , Isis 69 #249 (Dezember 1978), 534-550.

[7] William Bragg Ewald, From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics , zwei Bände, Clarendon Press, 1996, xviii + 1340 Seiten (beide Bände).

Eine Besprechung von Cantor [2] und [3] findet sich auf den Seiten 878-881 und eine englische Übersetzung (von Ewald) von Cantor [3] auf den Seiten 881-920.

(ab S. 889) "Wenn wir uns in der Geschichte umschauen, finden wir oft ähnliche Meinungen; sie finden sich schon bei Aristoteles." Nach der Erörterung von Aristoteles erwähnt Cantor (Seiten beziehen sich auf Ewalds Übersetzung; es ist durchaus möglich, dass die Seitenlisten für jede genannte Person nicht vollständig sind) Locke (S. 890), Descartes (S. 890), Spinoza (S. 890-892), Leibniz (S. 890-895), Kant (S. 892). Bozen wird auf p erwähnt. 895:

(S. 895 oben) Bozen ist vielleicht der einzige, für den die eigentlich unendlichen Zahlen legitim sind (jedenfalls spricht er viel darüber); aber ich bin absolut nicht einverstanden mit der Art und Weise, wie er sie behandelt, ohne eine korrekte Definition geben zu können, und ich halte zum Beispiel §§ 29-33 dieses Buches für unbegründet und falsch. Dem Autor fehlen zwei Dinge, die für ein echtes Verständnis des Begriffs der determiniert-unendlichen Zahlen notwendig sind: sowohl der allgemeine Begriff der Potenz als auch der genaue Begriff der Anzahl . Freilich tauchen beide an vereinzelten Stellen und als Sonderfälle im Keime auf. Aber das tut er nichtsich zu voller Klarheit und Genauigkeit durcharbeiten, was viele Ungereimtheiten und sogar viele Fehler in diesem wertvollen Buch erklärt. Ohne diese beiden Konzepte kann man meiner Überzeugung nach in der Theorie der Mannigfaltigkeiten nicht weiterkommen. Dasselbe gilt, glaube ich, für die Gebiete, die Teil der Mannigfaltigkeitstheorie sind oder mit ihr in engstem Kontakt stehen – zum Beispiel die moderne Funktionentheorie auf der einen Seite und Logik und Erkenntnistheorie auf der anderen Seite.

[8] Ivor Grattan-Guinness, Die Korrespondenz zwischen Georg Cantor und Philip Jourdain , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 73 #3 (20. September 1971), 111-130.

Der folgende Brief von Philip Edward Bertrand Jourdain (vom 3. Januar 1901) an Cantor erscheint auf den Seiten 112-112.

[Alle nachträglichen Ergänzungen in eckigen Klammern stammen von Grattan-Guinness, und "Verbindung" und "Hervorhebung" waren im Original] Sehr geehrte Damen und Herren, bei einigen Recherchen zur Frühgeschichte der Mannigfaltigkeitstheorie bin ich auf eine Arbeit von A. de gestoßen Morgan „Auf$\infty$die Entsprechung zwi[n] 2 unendlichen Mannigfaltigkeiten, aber nicht so deutlich oder mit so vollem Sinn für ihre Bedeutung wie Bolzano (§80 von Paradoxien [[2]]). Seine Bemerkungen zur Geschichte der Unendlichkeit, insbesondere zu Aristoteles, dürften Sie, glaube ich, im Zusammenhang mit Ihren mathematischen Memoiren interessieren. Ann. Bd. XXI [[8]]. Da ich denke, dass Sie dieses Papier sehen möchten, würde ich Ihnen gerne ein separates Exemplar davon zusenden, wenn ich von Ihnen höre. Mit freundlichen Grüßen Philip EB Jourdain.

Nach dem obigen Brief sagt Grattan-Guinness: "Cantor antwortete sofort, und seine Antwort zeigte, dass er de Morgans Artikel zuvor nicht gelesen hatte." Cantors Antwort ist auf Deutsch, nicht übersetzt. Ich habe jetzt keine Zeit, es zu tippen, aber ich werde es an einem anderen Tag tun, falls jemand interessiert ist.

Teil eines Briefes von Cantor (29. März 1905) an Jourdain (2. Absatz auf S. 124): „Mit Herrn Weierstraß hatte ich gute Beziehungen und ich besitze eine höchst interessante Korrespondenz mit ihm, die ich Ihnen zeigen werde über die Vorstellung der Zählbarkeit, von der er an den Weihnachtsfeiertagen 1873 in Berlin von mir hörte, war er zunächst ganz erstaunt, aber ein oder zwei Tage vergingen, sie wurde seine eigene und verhalf ihm zu einer unerwarteten Entwicklung seiner wunderbaren Theorie der Funktionen." [Anmerkung: Ich glaube, Cantor hat die Unzählbarkeit der Realzahlen am 7. Dezember 1873 entdeckt. In Fußnote 17 auf S. 124, Grattan-Guinness sagt, es sei nicht klar, über welches der Ergebnisse von Weierstraß Cantor gesprochen habe.]

[9] Ivor Grattan-Guinness, Die Wiederentdeckung der Cantor-Dedekind-Korrespondenz , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 76 #2-3 (30. Dezember 1974), 104-139.

Grattan-Guinness macht die folgende Bemerkung über einen Brief von Cantor an Dedekind auf S. 125: "Der einzige erwähnenswerte Punkt ist Cantors Entdeckung eines Werkes von Bozen (vermutlich sein Buch [2] über das Unendliche) in einer Notiz vom 7. Oktober 1882." Bolzanos Buch wurde 1851 veröffentlicht, aber ich glaube, es war den Mathematikern bis in die 1870er Jahre größtenteils unbekannt, und selbst dann war es nicht sehr bekannt. In Fußnote 18 auf S. 125 schreibt Grattan-Guinness: „Ein Jahr später erwähnte Cantor Bozen zum ersten Mal in seinen Papieren […]“

[10] Edward Kasner, Galileo and the modern concept of infinity , Bulletin of the American Mathematical Society 11 #9 (Juni 1905), 499-501.

[11] Cassius Jackson Keyser, Theorems related positive definitions of finite assemblage and infinite assemblage , Bulletin of the American Mathematical Society 7 #5 (Februar 1901), 218-226.

[12] Cassius Jackson Keyser, Concerning the axiom of infinity and mathematische Induktion , Bulletin of the American Mathematical Society 9 #8 (Mai 1903), 424-434.

[13] Cassius Jackson Keyser, The rôle of the concept of infinity in the work of Lucretius , Bulletin of the American Mathematical Society 24 #7 (April 1918), 321-327.

[14] Gregory Harvey Moore, Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development and Influence , Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences #8, Springer-Verlag, 1982, xiv + 410 Seiten.

Nachdruck von Dover Publications im Jahr 2013. Galileo wird auf S. 23, zusammen mit Bolzano (diskutiert auf S. 23-24). Es gibt keinen Hinweis darauf, was Cantor über Galileo gewusst oder gedacht haben könnte, aber Moore sagt am Ende von S. 23 bis zum Anfang von S. 24: „Es ist ungewiss, inwieweit Bolzanos Ansichten über das Unendliche Cantor beeinflussten, der die Paradoxien des Unendlichen erst 1883 diskutierte. Bei dieser Gelegenheit lobte er Bolzanos Buch für die Behauptung, dass das tatsächliche Unendliche existiert, kritisierte es jedoch, weil es beides nicht lieferte ein Konzept der unendlichen Zahl oder das Konzept der "Macht" basierend auf Equipolence [Fußnote 5, hier weggelassen] Obwohl er möglicherweise die Begriffe Menge (Menge) und Vielheit übernommen hat(Menge oder Vielheit) aus Bozen, hatte Cantors Interesse am Unendlichen schon viel früher in seiner Karriere begonnen."

[15] Augustus De Morgan, Über die Unendlichkeit; und über das Gleichheitszeichen , Transactions of the Cambridge Philosophical Society 11 Part 1 (1871), 145-189.

Separat als Broschüre von Cambridge University Press im Jahr 1865 veröffentlicht (gleicher Titel; i + 45 Seiten).

[16] Jules Tannery, De l'infini mathématique [Über die mathematische Unendlichkeit], Revue Générale des Sciences Pures et Appliquées 8 (1897), 129-140.

[17] Abel Étienne Louis Transon, Sur l'emploi de l'infini en mathématiques [Über die Verwendung des Unendlichen in der Mathematik], Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (Paris) 73 #6 (1871), 367-369.

Vortrag im Zusammenhang mit der Sitzung vom 7. August 1871.

[18] Giulio Vivanti, Notice historique sur la théorie des ensembles [Historischer Bericht über die Theorie der Mengen], Bibliotheca Mathematica (2) 6 #1 (1892), 9-25.

Die Bibliographie umfasst 56 Einträge.

[19] Giulio Vivanti, Lista bibliografica della teoria degli aggregati 1893-1899 [Bibliographisches Verzeichnis der Mengenlehre 1893-1899], Bibliotheca Mathematica (3) 1 (1900), 160-165.

Die Bibliographie umfasst 67 Einträge, die in chronologischer Reihenfolge aufgeführt sind.

[20] William Charles Waterhouse, Gauss on infinity , Historia Mathematica 6 #4 (1979), 430-436.

(ab S. 435) Hinweise auf Gauß im Zusammenhang mit der Mengenlehre gehen offenbar alle auf einen von Cantor selbst veröffentlichten Kommentar zurück. In einem Artikel von 1885 (veröffentlicht 1886) schrieb er: „ Vor gerade einmal zwei Jahren machte mich Herr Rudolf Lipschitz in Bonn auf eine bestimmte Stelle in der Gauß-Schumacher-Korrespondenz aufmerksam, wo sich ersterer gegen jede Einführung der wirklichen Unendlichkeit ausspricht Mathematik (Brief vom 12. Juli 1831). Ich antwortete gründlich und akzeptierte in diesem Punkt nicht die Autorität von Gauß, die ich auf allen anderen Gebieten so hoch schätze... [Cantor 1932, 371]. Dies allein lässt den Anschein erwecken, dass Cantor Gauß als Gegner seiner Mengenlehre betrachtete. Aber wenn man seiner Diskussion folgt, wird klar, dass diese Meinungsverschiedenheit nur in Bezug auf die Worte besteht, nicht in Bezug auf die eigentlichen Ideen von Gauß. Der entscheidende Satz lautet: [weggelassen] Cantor wandte sich also nicht gegen die Aussage von Gauß im Zusammenhang, sondern gegen die ihr von seinen eigenen Zeitgenossen zugeschriebene Bedeutung.

[21] William Henry Young, Die Einführung der mathematischen Idee der Unendlichkeit , Mathematical Gazette 4 #67 (Dezember 1907), 147-159.

[22] William Henry Young und Grace Chisholm Young, The Theory of Sets of Points , Cambridge University Press, 1906, xii + 316 Seiten.

Die 2. Auflage wurde 1972 von der Chelsea Publishing Company veröffentlicht (xvi + 326 Seiten). Die 2. Ausgabe wurde von Rosalind Cecilia Hildegard Tanner und Ivor Grattan-Guinness vorbereitet und korrigiert Druckfehler und einfache Fehler im Original und enthält einen Anhang mit ergänzenden Anmerkungen, der von Grace Chisholm Young erstellt wurde. Nach meiner Zählung hat die Bibliographie 308 Einträge. „Galileo“ erscheint nicht im Eigennamenverzeichnis auf S. 320 der 2. Auflage.

Cantor war definitiv nicht von Galileo beeinflusst, da er glaubte, dass Galileo ein Gegner der tatsächlichen unendlichen Zahlen war. Cantor zitierte Galileo als solches (aber nur 15 Jahre nach der Erfindung der Mengenlehre) in Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten 1888 (Fußnote auf S. 417 der Gesammelten Werke) und in einem Brief an Hilbert vom 27. Januar 1900.

Die Fußnote bezieht sich auf ein Buch von Moigno:

Moigno: Unmöglich. D. Nombre Akt. inf. Paris 1884. Hier werden Galilei, Gerdil, Torricelli, Guldin, Cavalieri, Newton, Leibniz als solche angeführt, welche sogenannten Beweise gegen die aktual unendlicher Zahlen geführt hätten.

Der Brief an Hilbert enthält den Absatz:

Mein Gegensatz zu Gauss besteht dagegen darin, dass Gauss alle Vielheiten, mit Ausnahme der endlichen , für inkonsistenz hält (ich meine unbewusst , dh ohne den Begriff zu haben) und daher kategorisch und principiell dasjenige Actualunendliche, welches ich Transfinitum nenne, verwirft, mithin auch die transfiniten Zahlen, deren Existenz ich begründet habe, für unmöglich erklärt (V. Brief von Gauß an Schumacher , V. 12. Juli 1831). Dies ist übrigens auch der Standpunct der Aristoteliker, auch von Galilei, Leibniz, Newton, d'Alembert, Cauchy, usw. bis auf Kronecker .