Warum haben Cantor (und andere) cc\mathfrak{c} für das Kontinuum verwendet?

Cantor hat den Begriff nicht erfunden, er geht auf die Antike zurück. „ Latein war mehr als tausend Jahre lang eine Lingua Franca , die erlernte Sprache für wissenschaftliche und politische Angelegenheiten, die schließlich im 18. Jahrhundert durch Französisch und Ende des 19. Jahrhunderts durch Englisch ersetzt wurde “. In Latein, Französisch und Englisch beginnt das Kontinuum mit "c".

Cantor sah sich mit dem von Aristoteles stammenden Dogma der mittelalterlichen Scholasten „infinitum actu non datur“ (tatsächliche Unendlichkeit ist nicht gegeben) und den dafür stehenden Argumenten wie der „Vernichtung der Zahlen“ durch das Unendliche konfrontiert. Aus Daubens Buch :

„ Cantor verurteilte diese Art von Argumentation jedoch mit der Begründung, es sei ein Trugschluss anzunehmen, dass unendliche Zahlen dieselben arithmetischen Eigenschaften aufweisen müssten wie endliche Zahlen … Nachdem er sich mit Aristoteles und den Scholastikern befasst hatte, unternahm Cantor eine Untersuchung anderer Werke von einigen der beeindruckendsten Denker des 17. Jahrhunderts, einem Jahrhundert, das Zeuge ernsthafter und oft tiefgründiger Analysen der Natur der Unendlichkeit war.Er schlug vor, dass jeder, der sich für solche Dinge interessiert, gut daran täte, Locke, Descartes, Spinoza und Leibniz zu konsultieren Hobbes und Berkeley wurden als zusätzliche Lektüre sehr empfohlen. “

Nicht viele von Cantors Zeitgenossen interessierten sich für die Feinheiten des tatsächlich Unendlichen (eine Ausnahme ist Dedekind), daher schrieben die meisten von Cantors intellektuellen Weggefährten Latein oder wurden ins Lateinische übersetzt.

BEARBEITEN: Nach JW Perrys Kommentar habe ich Medvedevs Buch Early History of the Axiom of Choice durchgesehen, in dem er Cantors mengentheoretische Arbeiten und Briefe an Dedekind von 1872 bis 1899 zitiert, und auch keine Instanz von ihm gefunden$\mathfrak{c}$. Die früheste Verwendung, die Medwedew zitiert, stammt aus Bernsteins Aufsatz Über die Reihe der transfiniten Ordnungszahlen in Mathematische Annalen, v.60 (1905), 187-193, wo er schreibt (meine Übersetzung, direkter Link zum Aufsatz, siehe S.192 ):

„ Obwohl es sehr wahrscheinlich bleibt , dass$2^{\aleph_0}=\mathfrak{c}=\aleph_1$, das konnte bisher niemand beweisen$2^{\aleph_0}>2^{\aleph_1}$[sic!]. Daher ist das nicht ausgeschlossen$2^{\aleph_0}=2^{\aleph}$, Wo$\aleph$ist irgendein Aleph. In diesem Fall$2^{\aleph_0}$würde alle Alephs als Untermengen enthalten ... "

In seiner Dissertation Untersuchungen aus der Mengenlehre von 1901, die später in Mathematische Annalen, v.61 (1905), 117-155 veröffentlicht wurde, aber früher unter Experten zirkulierte, verwendet Bernstein stattdessen die lateinische Transkription für „c“ und schreibt „ Bezeichnet$c$de Machtigkeit des Kontinuums... " (Let$c$beziehen sich auf die Mächtigkeit des Kontinuums), trotz „Kontinuum“ mit „K“. Direktlink siehe S. 133 .

Lateinische Lehnwörter im Deutschen behielten in der Regel bis etwa Ende des 19. Jahrhunderts ihr „c“ bei. Die modernen Schreibweisen wie Kontinuum (für Kontinuum) und Zentrum (für Centrum) resultieren aus einer recht neuen Rechtschreibreform.

Langer Kommentar

Ich stimme Perrys Kommentar zu.

In Cantors Beiträgen zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1) Mathematische Annalen , 46:481–512 (1895), Seite 488 (und siehe die englische (1915) Übersetzung, Seite 96 ) wird das Symbol für verwendet$2^{\aleph_0}$ist eindeutig nicht $\mathfrak c$.

Auf den vorherigen Seiten$\mathfrak a, \mathfrak b$Und$\mathfrak c$werden für Kardinalzahlen verwendet .

Siehe auch :

• Gregory Moore, Zermelo's Axiom of Choice: Its Origin Development and Influence (1982 - auch Dover-Nachdruck), Seite 42.

Einige frühe Quellen:

• Felix Hausdorff, Mengenlehre (englische Übersetzung der 3. deutschen Ausgabe: 1937), Seite 44, verwendet$\aleph$[ohne Index] für "die Kardinalität des Kontinuums".

• Wacław Sierpiński, Kardinal- und Ordnungszahlen (englische Übersetzung der 3. polnischen Ausgabe: 1928), Seite 372: „Die Macht der Menge$Z_2$aller Nummern der 2. Klasse ist mit bezeichnet$\aleph_1$(lesen Sie Aleph-Eins )."

Entsprechend :

• Michael Hallett, Cantorianische Mengentheorie und Größenbeschränkung (1986), Seite 68:

Die Aleph-Notation wurde erstmals in Cantors Beiträgen I [1895] der mathematischen Öffentlichkeit vorgestellt.$\aleph_0$wird als „die Potenz der natürlichen Zahlen“ bezeichnet, dh der Klasse [ erste Zahl] (I). [...] So, in Beiträge II [1897],$\aleph_1$wird als Potenz von [der zweiten Zahlklasse] (II) eingeführt. Die Aleph-Notation scheint zuerst in einem Brief an Vivanti vom 13. Dezember 1893 erwähnt worden zu sein, obwohl hier Cantor dies getan hat$\aleph_1, \aleph_2$, etc. anstelle der späteren$\aleph_0, \aleph_1$usw.

Mögliche Quellen:

• William Henry Young & Grace Chisholm Young, The Theory of Sets of Points (1906), Seite 46:

Wir werden nun sehen, dass wir, um eine perfekte Menge zu messen, nur das lineare Kontinuum selbst als Einheit nehmen müssen; auf diese Weise erhalten wir eine neue Potenz, die mehr als zählbar ist, nämlich. die Potenz$c$des linearen Kontinuums.

• Edward V. Huntington , The Continuum, and Other Types of Serial Order: With an Introduction to Cantor's Transfinite Numbers (1917 - auch Dover-Nachdruck), Seite 80:

Das vielleicht berühmteste Ergebnis in dieser Algebra [der Algebra der Kardinalzahlen] ist die Formel [siehe Fußnote zu Beiträge I , Seite 488]

$$c=2^{\aleph_0}$$

Wo$c$steht für die Kardinalzahl des Kontinuums [...].

Siehe schließlich: Patrick Suppes, Axiomatic set theory (1960 - auch Dover-Nachdruck), Seite 193:

Das Symbol$\mathfrak c$ist der Standard [ sic ! ] für die Kardinalität des Kontinuums.