Wie hier beschrieben , wissen wir, dass:
In den Grundlagen der Mathematik zeigte das 1901 von Bertrand Russell entdeckte Russellsche Paradoxon (auch als Russellsche Antinomie bekannt), dass einige Formalisierungsversuche der von Georg Cantor geschaffenen naiven Mengenlehre zu einem Widerspruch führten.
Und hier ist die formale Präsentation, die uns dazu bringt, NSTinkonsistent zu sein. Aber die von Russel verwendete Schlussfolgerung ist etwas seltsam. Also habe ich mich gefragt, wie er auf diese formelle Präsentation gekommen ist? Haben wir eine Idee, wie es dazu kam? War das zum Beispiel auf dem Ergebnis des Denkens früherer Mathematiker/Logiker aufgebaut? Oder ist dieses Denken über Axiome, Definitionen, Eigenschaften und Konzepte regelmäßig und üblich?
Hinsichtlich:
Wie kam Russell auf diese formelle Präsentation? Haben wir eine Idee, wie es dazu kam?
Sie können Russells Paradoxon und Russells Paradoxon sehen .
Einzelheiten finden Sie unter:
Ivor Grattan-Guinness, Wie Bertrand Russell sein Paradox entdeckte (1978)
Ivor Grattan-Guinness, Bertrand Russell über sein Paradoxon und das multiplikative Axiom (1972)
Alejandro Garciadiego, Bertrand Russell und die Ursprünge der mengentheoretischen "Paradoxe" (1992).
Du kannst sehen:
Russell war nicht der Erste, der „sein“ Paradox entdeckte. Als er im Juni 1901 darauf stieß (es wurde erst in der ersten Ausgabe der Principia 1903 veröffentlicht), war es dem Göttinger Kreis um Hilbert bereits eine Weile bekannt. Russell gehörte nicht zu diesem Kreis, seine Wiederentdeckung war also unabhängig, aber er war vertraut mit Schröders Algebra der Logik (1890), dem Vorläufer von Principia, wo Schröder argumentierte, dass die Aufnahme "aller Gedankenobjekte" in eine Klasse zu Widersprüchen führe. Hier ist der Ortiz-Hügel :
In einem Brief vom 7. November 1903 teilte Hilbert Frege mit, dass Russells Antinomie ihnen in Göttingen bereits bekannt sei. Hilbert fügte hinzu, dass er glaube, dass Ernst Zermelo ihn vor drei oder vier Jahren gefunden habe, nachdem er vor vier oder fünf Jahren von anderen, noch überzeugenderen Widersprüchen von Hilbert selbst erfahren habe. Hilbert bemerkte weiter, dass ihm die Idee, dass „ein Begriff bereits da ist, wenn man von einem Gegenstand sagen kann, ob er darunter fällt oder nicht“, nicht angemessen erschien. Entscheidend wäre, so sagt er, „die Erkenntnis, dass die Axiome, die den Begriff definieren, widerspruchsfrei sind.
Konkrete Belege für Zermelos Feststellung des Paradoxons finden sich in einer Notiz, die er im April 1902 an Husserl schickte und in der Zermelo seinen Beweis übermittelte ... Nach Zermelos Meinung ... hatte Schröder im Grunde Recht, aber seine Argumentation Defekt. Nach dem von Husserl aufgezeichneten Argument von Zermelo: Gegeben sei eine Menge M, die jede ihrer Teilmengen m, m'… als Elemente enthält, und eine Menge M0, die die Menge aller Teilmengen von M ist, die sich selbst nicht enthalten als Elemente kann dann gezeigt werden, dass M0 sich selbst enthält und nicht enthält. "
Das von Hilbert abgelehnte Prinzip (ungefähr, dass jede nicht vage Eigenschaft eine Menge von Objekten definiert, die es haben), das heute als Axiom des (unbeschränkten) Verstehens bekannt ist, wurde von Logikern und Mathematikern des 19. Jahrhunderts häufig verwendet. In Cantors mathematisch-philosophischem Opus Foundations of the General Theory of Sets (1883) erscheint es ausdrücklich als „Prinzip der dritten Generation“ von Ordnungszahlen und in Freges Foundations of Arithmetic (1884) als Basic Law V, einem weiteren Ausgangspunkt von Russell . Die Enträtselung, die offensichtlich sowohl Russell als auch Zermelo zu dem Paradox geführt hat, begann mit Schröders Monographie und Cantors diagonalem Argument, das 1891 veröffentlicht wurde. Russell kommentierte, dass es das Studium von Cantors Theorien war, das ihn zu der Antinomie führte, die das „" des frühen Werks über Principia. Beim Diagonalargument wird zunächst eine Liste "aller" Sequenzen "kompiliert", und dann wird die Liste selbst manipuliert, um eine Sequenz zu erzeugen, die nicht zu ihr gehört, obwohl sie dazu gehört.
Cantor erkannte bereits 1895, dass sein Argument ein weiteres Paradox impliziert, das jetzt nach Burali-Forti benannt ist, der es 1897 veröffentlichte, nämlich das der Ordnungszahl aller Ordnungszahlen, die einen Nachfolger haben und nicht haben (oder genauer gesagt, ihre Version für die Alephs). Infolgedessen schloss Cantor laut Zermelos Bemerkungen in Cantor's Collected Works weit entfernt von dem breiten Bogen von 1883 nicht zählbare Ordinalzahlen aus seinem Werk aus:
" Der Grund für diese Unterlassung war offenbar erstens der noch fehlende Beweis, dass jede Kardinalität ein Aleph ist, und zweitens - dass Cantor bereits einige skeptische Zweifel gegenüber "allen" Ordnungs- oder Kardinalzahlen aufgrund der ihm bereits bekannten "Antinomie von" hatte Burali-Forti"... "
Der Unterschied zwischen dem „Burali-Forti“-Paradoxon und dem „Russell“-Paradoxon besteht darin, dass letzteres keine komplizierten Begriffe wie Ordnungszahlen oder Kardinalität erfordert. Aber beide verlassen sich zur Definition auf das uneingeschränkte Verständnis und gelangen durch die gleiche Art von selbstreferenziellem Exploit zum Widerspruch. Russells Paradox vom Barbier (der diejenigen rasiert, und nur diejenigen, die sich nicht selbst rasieren) steht in derselben Beziehung zu „seinem“ Paradox wie das Diagonalargument zu dem von „Burali-Forti“. Im ersteren gibt es Voraussetzungen, die verworfen werden können (Existenz des Barbiers, Zählbarkeit des Kontinuums) und damit das Paradox entwaffnen, im letzteren ist der Ausweg durch das Verstehensaxiom versperrt.
Man könnte sagen, dass die Paradoxien der Selbstreferenz "in der Luft" lagen, und die besondere Art der Argumentation, die Zermelo und Russell destillierten, auch "in der Luft" lag. Aber, wie Ortiz Hill anmerkt, war Russell „ der erste, der Freges Irrtümer veröffentlichte und Frege selbst den Punkt klarmachte “, tatsächlich erfand er das Paradoxon des Friseurs, um das Thema in nicht-technischen Begriffen bekannt zu machen.
Andrés E. Caicedo