Wie viel von der Mathematik hat Russells Paradoxon wirklich gebrochen?

Nach meinem sehr wahrscheinlich stark vereinfachten Verständnis ereignete sich eine Revolution in den Grundlagen der Mathematik, als Cantors Formulierung der Mengenlehre aufgrund von Russells Paradoxon als inkonsistent befunden wurde, was letztendlich zur Entwicklung der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre führte und damit die Mathematik zurückstellte auf soliden formalen Grundlagen.

Meine Frage ist, wie viel Revolution hat dieser Prozess in der übrigen Mathematik außerhalb der formalen Grundlagen bewirkt?

Ich kann mir zwei Extreme vorstellen, wobei die Wahrheit vermutlich irgendwo dazwischen liegt. Einerseits könnte man sich vorstellen, dass ein Riss in den Grundfesten die gesamte Mathematik zum Einsturz bringen würde, wobei die meisten Theoreme auch in sehr angewandten Themen innerhalb des neuen Systems auf ganz andere Weise neu hergeleitet werden müssten, und zwar in einem Prozess, der viele erfordern würde Jahre. Andererseits kann ich mir vorstellen, dass es überhaupt keinen großen Unterschied macht, da die meisten Ergebnisse auf höherer Ebene irgendwie unabhängig von den untergeordneten Dingen sind, sodass die alten Grundlagen ausgetauscht und neue eingefügt werden können ohne die darauf errichteten Bauwerke zu stören.

Wenn ich raten müsste, würde ich sagen, dass es eher letzterem entspricht, denn wenn wir über höhere oder angewandte Mathematik nachdenken, müssen wir selten direkt auf die Axiome der Mengenlehre eingehen. Aber ich würde es begrüßen zu wissen, wie es historisch ausgegangen ist.

Beachten Sie, dass Russells Paradoxon nicht einmal allzu viel von der naiven Mengenlehre bricht; Es taucht nur auf, wenn Sie versuchen, wirklich große Sets zu erstellen. Sie können den größten Teil der Kombinatorik durchführen, ohne über endliche Mengen hinauszugehen, und Sie können die meisten Analysen durchführen, ohne über Teilmengen des euklidischen Raums hinauszugehen (oder vielleicht über Mengen kontinuierlicher Funktionen im euklidischen Raum, was ebenfalls kein Problem darstellt). Diese Art von grundlegenden Fragen tauchte wirklich nur auf den Radarschirmen der arbeitenden Mathematiker auf, als Algebraiker und Topologen begannen, sich der Sprache der Kategorien und universellen Konstruktionen zuzuwenden.
Als ich dieses Paradoxon zum ersten Mal hörte, war ich neugierig: Was für eine mathematische Einheit dachte Russell, um dies zu erreichen? Laut Peter J. Cameron wurde er durch einige Lesungen über den Theologen Thierry von Chartres motiviert. Jesus ist immer ein Versager, sehen Sie?
@BillyRubina Diese Fußnote besagt, dass er von Thierry von Chartres "möglicherweise vorweggenommen" wurde. Dies bedeutet nicht, dass Russell sich seiner Arbeit bewusst war.

Antworten (4)

Deine Vermutung ist richtig. Russells Paradoxon brach nur das, was die Menschen damals als Grundlagen der Mengenlehre betrachteten. Genauer gesagt, das von Frege gebaute logische Fundamentsystem. Das war natürlich sehr beunruhigend, weil viele Leute verstanden haben, dass Logik und Mengenlehre wirklich die Grundlage der gesamten Mathematik sind. Es hat jedoch keine Theoreme außerhalb der Mengenlehre und einiger eng damit verbundener Bereiche, wie der neuen Theorie der Funktionen der reellen Variablen, "ungültig gemacht". Ich bin sicher, dass sich die meisten Mathematiker, die zum Beispiel Differentialgleichungen oder Funktionen der Theorie komplexer Variablen oder der Gruppentheorie oder Geometrie durchführten, nicht sehr für Russells Paradoxon interessierten. Bald wurden viele Grundlagentheorien entwickelt, um Russells Paradox und ähnliche Paradoxe zu vermeiden. Die eine ist Russell selbst zu verdanken (sie wird Typentheorie genannt), ein anderer ist der Intuitionismus. Schließlich entschieden sich die meisten Mathematiker für das ZF-System. Der von Brouwer begründete Intuitionismus (der sich später zur Konstruktiven Mathematik entwickelte) war der radikalste Versuch, die Grundlagen zu retten. Es lehnte tatsächlich einen Großteil der klassischen Mathematik ab. Die Diskussionen über den Intuitionismus gingen bis weit in die zweite Hälfte des 20. Jahrhunderts hinein. Aber die meisten Mathematiker, die in anderen Bereichen als den Grundlagen arbeiten, waren an diesen Diskussionen nicht wirklich interessiert.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich zustimmen würde, dass der Intuitionismus „einen Großteil der klassischen Mathematik ablehnte“. Es könnte viele Möglichkeiten ablehnen, bestimmte Teile der klassischen Mathematik auszudrücken .
Beispielsweise gilt in der konstruktiven Mathematik nicht, dass eine beschränkte wachsende Folge reeller Zahlen einen Grenzwert hat.
Nehmen Sie irgendein Rechenbuch und sehen Sie, wie sehr es von dieser Aussage abhängt.
@AlexandreEremenko Aber wenn man Vollständigkeit als definierendes Axiom der Realzahlen nimmt - "Jede nicht leere, oben begrenzte Teilmenge hat ein Supremum" - folgt das nicht axiomatisch?
Beispielsweise gilt in der konstruktiven Mathematik nicht, dass eine beschränkte wachsende Folge reeller Zahlen einen Grenzwert hat. Aber ich vermute, ein Intuitionist wäre in der Lage, eine Aussage zu machen, die für alle praktischen Zwecke gleich wäre. In der Praxis ist uns die Unterscheidung egal. Zum Beispiel hat noch nie jemand in einem physikalischen Experiment eine irrationale Zahl gemessen.
@BenCrowell Genau genommen hat niemand jemals eine Zahl in einem Physikexperiment gemessen. Sie messen nur ein Intervall.
Mathematik ist VIEL größer als ihre praktischen Anwendungen :-)
@ user58697 : Viele Männer haben in Experimenten Zahlen gemessen. Jeder Hirte, der seine Schafe zählte. Jeder Physiker, der ein oder zwei Atome in einer Paul-Falle gezählt hat.
@Otto: Sie sprechen von ganzen Zahlen, während user58697 wahrscheinlich reelle Zahlen bedeutet. Die „Existenz“ reeller Zahlen in der physikalischen Realität ist alles andere als offensichtlich.

Du sagst

[...] Russells Paradoxon [ 1901 ], das schließlich zur Entwicklung der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre führte und damit die Mathematik wieder auf ein solides formales Fundament stellte .

Meine Frage ist, wie viel Revolution hat dieser Prozess in der übrigen Mathematik außerhalb der formalen Grundlagen bewirkt?

aber beachten Sie, dass Freges Begriffsschrift nur von 1879 ist! Die Idee der Nutzung ∀ , ∃ ist jünger als der photoelektrische Effekt, und so auch die Denkweise, dass man formale Logik für Mathematik auf diese Weise tatsächlich verwenden sollte.

Russels Problem tauchte einige Jahre auf, nachdem die „Logikleute“ zum ersten Mal einen Blick auf die Mengenlehre geworfen hatten. Was wären die "soliden Grundlagen, auf die Sie die Mathematik zurücksetzen", über die Mathematiker in verschiedenen Bereichen bereits Bescheid wissen (und viel weniger Vertrauen und Sorgfalt)?

Es fällt mir schwer, Ihren letzten Satz zu analysieren. Aber ich gehe davon aus, dass Mathematik vor 1901 sowieso nicht wirklich als auf formalen Grundlagen beruhend angesehen wurde - dieser Punkt ist gut getroffen, danke.

Nach meinem sehr wahrscheinlich stark vereinfachten Verständnis fand eine Revolution in den Grundlagen der Mathematik statt, als sich Cantors Formulierung der Mengenlehre aufgrund von Russells Paradoxon als inkonsistent herausstellte, was letztendlich zur Entwicklung der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre führte und damit die Mathematik zurückstellte auf soliden formalen Grundlagen.

Meine Frage ist, wie viel Revolution hat dieser Prozess in der übrigen Mathematik außerhalb der formalen Grundlagen bewirkt?

Hier sind zwei Dinge zu unterscheiden:

A. die gesamte Mathematik auf eine formale Basis zu stellen

B. Mengenlehre auf eine formale Basis stellen

Es wurde angenommen, dass die Mengenlehre die erste löste; die Formalisierung der Mengenlehre würde dabei helfen, die Mathematik zu formalisieren; Meine persönliche Ansicht dazu ist, dass dies der Natur der Mathematik, die ein menschliches Unterfangen ist, einen schlechten Dienst erweist und fälschlicherweise versteht, dass Mathematik lediglich ein deduktives System ist, obwohl dies nicht der Fall ist. sei es wie es mag.

Die Entdeckung von Russells Paradoxon machte einer naiven Formalisierung der Mengenlehre ein Ende; ZFC gelingt es, Russells Paradoxon mehr oder weniger zu ignorieren; Die andere Möglichkeit besteht darin, es anzunehmen und zu sehen, dass Mengen in einer Hierarchie von Typen vorkommen; dies ist Typentheorie und funktioniert als alternative Grundlage für die Mathematik. Tatsächlich arbeitet eine naive Typentheorie mit ZFC; wo gewöhnliche Mengen das sind, was wir dort verwenden, und die einzigen größeren Mengen Klassen sind; Das ist nicht alles abstrus, denn in der Kategorie Theorie brauchen wir tatsächlich größere Sets, als ZFC uns zur Verfügung stellen kann.

Nichts in der Mathematik wurde durch Russells Paradoxon gestört oder verdorben. Nicht einmal ein einfaches Lemma. Der Grund dafür ist, dass die Mengenlehre nicht grundlegend für die Mathematik ist (1,2), weil sie sogar der Mathematik widerspricht (3).

(1) „Die Mengenlehre ist für die Praxis der meisten Mathematik weitgehend irrelevant. Die meisten professionellen Mathematiker haben nie Gelegenheit, die Zermelo-Fraenkel-Axiome zu verwenden, während andere sie nicht einmal kennen.“ [Saunders Mac Lane: „Mathematical models: A sketch for die Philosophie der Mathematik ", American Mathematical Monthly, Vol. 88,7 (1981) S. 467f]

(2) „Ich glaubte, dass es so klar sei, dass die Axiomatisierung in Bezug auf Mengen keine zufriedenstellende letzte Grundlage der Mathematik sei, dass sich die Mathematiker größtenteils nicht sehr darum kümmern würden. Aber in letzter Zeit habe ich dafür gesorgt Meine Überraschung, dass so viele Mathematiker denken, dass diese Axiome der Mengenlehre die ideale Grundlage für die Mathematik darstellen; daher schien mir die Zeit gekommen, eine Kritik zu veröffentlichen. [T. Skolem: "Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre", Akademiska Bokhandeln, Helsinki (1923) 217-232, nachgedruckt als "Some comments on axiomatized set theory" in J. van Heijenoort: "From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logik, 1879-1931", Harvard University Press, Cambridge, Mass. (1967) 290-301]

(3) Hier die Kernaussage eines Mückenheimer Arguments : Scrooge McDuck erhält jeden Tag 10 $ und gibt 1 $ aus . Wenn er immer zuerst die erhaltenen Dollars ausgibt und die moderne Mengenlehre anwendet, dann wird er bankrott gehen, weil jeder der erhaltenen Dollars ausgegeben wird. Das Set-Limit ist leer. Nach der Mathematik müssen wir die Grenze der Kardinalität der gehaltenen Dollars nehmen. Diese Grenze ist unendlich und steht im klaren Widerspruch zur Mengenlehre.

EDIT: Downvotes ändern nichts an den Fakten:

Das tatsächliche Unendliche wird für die Mathematik der physikalischen Welt nicht benötigt. [S. Feferman: "Unendlichkeit in der Mathematik: Ist Cantor notwendig?" in "Im Lichte der Logik", Oxford Univ. Presse (1998) p. 30]

In seinen abschließenden Kapiteln verwendet Feferman Werkzeuge aus dem speziellen Teil der Logik, der sogenannten Beweistheorie, um zu erklären, wie der große Teil, wenn nicht die gesamte wissenschaftlich anwendbare Mathematik auf der Grundlage rein arithmetischer Prinzipien gerechtfertigt werden kann. Zumindest insofern wird die in zwei Aufsätzen des Bandes aufgeworfene Frage „Ist Cantor Necessary?“ mit einem klaren „Nein“ beantwortet. [S. Feferman, „Im Lichte der Logik“, Oxford Univ. Presse (1998) Beschreibung aus der Umschlagklappe]

Ihr Punkt (3) ist ziemlich seltsam. Was ist eigentlich ein „Set-Limit“? Wenn Sie den Schnittpunkt aller Mengen meinen, ist das zwar leer, aber was hat das mit "er wird bankrott gehen" zu tun? Die Schnittmenge unendlich vieler Mengen hat zwar eine Bedeutung, aber niemand sagt, dass die Bedeutung mit Dagobert Ducks Vermögen zusammenhängt. Die Vermeidung dieser Art von Nachlässigkeit, Mehrdeutigkeit des Ergebnisses eines unendlichen Prozesses, ist etwas, das die Mengenlehre erfolgreich vermeidet.
@Roy Daulton: Das gesetzte Limit wird im Essay Der kleine Dämon erklärt: hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/The%20little%20demon.pdf . Dort sind die Formeln angegeben. Es ist eine vereinfachte Version von Fraenkels Erklärung der Erschöpfung unendlicher Mengen durch die Geschichte von Tristram Shandy. Wenn McDuck nicht bankrott geht, werden auch nicht alle Brüche durch Cantors Aufzählung aufgezählt. Der Punkt ist, dass die Menge der nicht ausgegebenen Dollars sowie die Menge der nicht aufgezählten Brüche leer sein müssen. Wenn alle Dollars ausgegeben werden, hat McDuck keine Dollars mehr. Das heißt, er ist bankrott.
Soweit ich sehen kann, ist die Beschwerde Ihres verlinkten Artikels die für die Sets M k und die Definition von Set-Limit, will es lim ( C A R D ( M k ) ) = C A R D ( lim ( M k ) ) . Aber warum sollte das sein? Viele Eigenschaften bleiben in der Grenze nicht erhalten – warum sollte die Kardinalität erhalten bleiben? Bestehen Sie darauf, dass der Grenzwert stetiger Funktionen stetig ist? McDucks Reichtum in der Ewigkeit ist die linke Seite dieser "Gleichung", die Kardinalität der gesetzten Grenze ist auf der rechten Seite. Warum sollten sie gleich sein?
@Rory Daulton: Vielleicht glauben diese Mengentheoretiker, dass unendliche Mengen erschöpft werden können und dass die Grenze einer kontinuierlich ansteigenden positiven Funktion Null sein kann. Jedenfalls ergibt die Mathematik , nämlich die Analysis, das Gegenteil, nämlich die linke Seite. Und dies widerspricht eindeutig dem „festgelegten Limit“ auf der rechten Seite, denn McDuck kann nicht alle Dollars liegen lassen und reich werden. Daher kann die Mengenlehre nicht als Grundlage für die Ableitung von Mathematik verwendet werden.
@Rory Daulton: Es reicht nicht aus (durch eine willkürlich erfundene Formel) zu definieren , dass McDuck bankrott geht oder dass die Grenze nicht aufgezählter Brüche die leere Menge ist. Wir müssen beweisen , dass alle Brüche irgendwie aufgezählt werden. Das ist mit der Analyse unmöglich, weil die Analyse das Gegenteil beweist.
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