Was hat in den letzten Jahren den Bedarf an echter Analyse und formaler Logik hervorgebracht?

Ich kann anscheinend keine klare, endgültige, nicht zirkuläre Antwort darauf finden. Seit Jahrhunderten betreiben wir Mathematik in der einen oder anderen Form, sei es Geometrie und Bilder, oder wir erfinden Symbole zur Darstellung von Zahlen und manipulieren sie dann mit arithmetischen Regeln, aber ich verstehe nicht, wofür diese Regeln formalisiert wurden So viele jahre.

Erst in den letzten Jahren haben wir die Peano-Axiome erhalten, um zu definieren, was eine natürliche Zahl oder eine reelle Zahl in Bezug auf Cauchy-Folgen oder Peano-Arithmetik usw. ist.

Wir hatten sogar Kalkül, Potenzreihen usw., bevor viele dieser Dinge aufkamen.

Wir schienen keine "Beweistheorie" zu haben, in der wir uns alle einig waren, was einen Beweis ausmacht oder was als richtiger / falscher Beweis angesehen wird.

Ich verstehe nicht, wie die Leute all diese Begriffe und Techniken definiert und verwendet haben, bevor wir definiert haben, was diese Dinge waren. Jede Antwort, die ich darauf sehe, fühlt sich für mich kreisförmig an. Haben wir nur nachgerechnet, ohne uns zu sehr um mögliche Grenzfälle und Probleme zu kümmern, die in bestimmten Situationen auftreten? Waren Beweise nur ein Appell an unsere Sinne und fanden wir sie überzeugend, anstatt zu 100% zu zeigen, dass diese Dinge immer galten?

Wie genau haben wir so lange Mathematik betrieben und was hat dazu geführt, dass die Grundlagen neu definiert werden mussten?

Menschen sind Jahrtausende (und noch viel mehr) gewandert, bevor Phisiologen und Physiker sich der elektrochemischen Mechanismen bewusst wurden, die Muskeln und Knochen regieren.
@MauroALLEGRANZA Sicher, aber das ist die Frage, nach der ich suche. Haben wir Dinge wie reelle Zahlen jahrelang nur „benutzt“, ohne wirklich zu fragen: „Was ist eine reelle Zahl genau?“
Wir fragen und antworten nun: eine reelle Zahl ist eine bestimmte Menge (von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen im Bereich der Quotienten der ganzen Zahlen, die usw. oder ähnliches sind). Aber dann wiederum verwenden wir Mengen , die axiomatischen Regeln unterliegen, ohne wirklich zu fragen: „Was sind das genau?“ Plus ça ändern...
@FrancoisZiegler Aber wir haben reelle Zahlen vor Cauchy-Folgen verwendet, und wir haben Mengen verwendet, bevor wir Peano-Axiome / Logikregeln erster Ordnung usw. hatten
Der Punkt ist, AFAICT, dass es immer Dinge gibt, die wir „einfach benutzen“ (vorbehaltlich von Regeln), ohne weiter zu versuchen, „was sie sind“ in Bezug auf andere Dinge zu definieren. Derzeit sind diese Primitive (normalerweise) Mengen. Früher waren es (meistens) andere Dinge.
Es ist nicht ganz so ... Nehmen Sie zB Euklid: Es gibt keine reellen Zahlen in Elements ; aber es gibt "Zahlen" (unsere Naturals ) und sie sind dort "definiert". Die Debatte darüber, was "Zahlen" sind, war im Altgriechischen relevant.
Es gibt ziemlich viele reelle Zahlen, von denen niemand eine Ahnung hatte, dass sie für den größten Teil unserer Geschichte existierten. Ich finde deine Frage nicht wirklich sinnvoll.

Antworten (3)

Wie ich in meiner Antwort auf Ihre andere Frage erklärt habe, wurde Mathematik immer mit gewöhnlicher (nicht formalisierter) Logik durchgeführt. Versuche, die Logik zu formalisieren, beginnen mit Aristoteles. (Dies wird "formale Logik" genannt).

Später entstand die Idee, die Mathematik zur Formalisierung der Logik einzusetzen. Einer der frühen Befürworter dieser Idee war Leibniz, und sie erreichte eine Weiterentwicklung in der Arbeit von Mathematikern des 19. Jahrhunderts wie George Boole und A. de Morgan. Dieser neue Zugang zur Logik wurde "mathematische Logik" genannt.

Die Logik, die Mathematiker immer in ihren Forschungen verwendeten, ist also etwas "außerhalb der Mathematik". Aber "mathematische Logik" ist ein Teil der Mathematik. Hier gibt es keinen Teufelskreis: siehe Metamathematik .

Warum haben Menschen versucht, Logik zu formalisieren? Dafür gibt es mindestens zwei Gründe:

a) um besser zu verstehen, was die Regeln der Logik wirklich sind, und

b) die Idee, dass logische Argumente von einer Maschine durchgeführt werden können.

Die zweite Idee ist viel älter, als es modernen Studenten erscheinen mag (sie geht auf Raymond Lully (1232-1315) zurück) und war offenbar eine wichtige Motivation für Leibniz und Boole.

"Mathematik wurde immer mit gewöhnlicher (nicht formalisierter) Logik gemacht" Können Sie ein Beispiel dafür geben, was Sie damit meinen? Ich verstehe auch nicht, wie Aristoteles die Logik formalisiert hat. Jedes Beispiel von ihm, das ich sehe, ist ein sehr informeller "Syllogismus", in dem wir Dinge sagen wie "Alle / einige / kein X sind Y, ... usw."
@ user525966: Fast jede moderne mathematische Arbeit kann als Beispiel dienen. Sie werden darin weder Axiome noch Syllogismen finden. Ich frage mich, wie viel Prozent der modernen Mathematiker überhaupt den vollständigen Satz von ZFC-Axiomen kennen :-)
Aber verwenden diese modernen Arbeiten nicht mathematische Rahmenwerke, die sich, wenn man ihren Definitionen und Systemen und all dem weiter folgt, schließlich auf so etwas wie ZFC oder Peano-Axiome oder Logik erster Ordnung oder Aussagenlogik reduzieren würden?
@ user525966 Nur weil du es so aussehen lassen kannst, als würden sie sich darauf verlassen, heißt das nicht, dass sie es tun. „ Wenn Tische, Stühle, Schränke etc. in genügend Papier gehüllt sind, werden sie am Ende bestimmt kugelförmig aussehen “.
Ich verstehe nicht, was du damit meinst

Wir schienen keine "Beweistheorie" zu haben, in der wir uns alle einig waren, was einen Beweis ausmacht oder was als richtiger / falscher Beweis angesehen wird.

Ja, das haben wir. (Die Griechen theoretisierten den Beweis durch Widerspruch , ausgeschlossene Mitte , Kontraposition usw.)

Eine kurze Antwort auf die Titelfrage (mit ihrer Betonung auf Analyse) ist, dass neue „Bedürfnisse“ aus sehr konkreten Problemen entstanden sind , wann und wo genau Fourier-Reihen konvergieren. Dies zwang Dirichlet , Riemann , Weierstrass , Cantor , ihre Kohorte Dedekind und andere dazu, allgemeinere „Funktionen“ und „Mengen“ (ganz zu schweigen von „Zahlen“) in Betracht zu ziehen, als irgendjemand zuvor ; und diese zu axiomatisieren, erwies sich als etwas subtiler, da offensichtlicherer Unsinn entsteht, wenn wir nicht aufpassen.

Meiner Meinung nach das beste Gegenmittel gegen die Art von Schwindel , die Sie ausdrücken – und gegen die allgemeine Vorstellung, dass der Zweck der mathematischen Logik darin besteht, der Mathematik „Grundlagen“ zu geben oder „alles zu definieren“ (ist es nicht: das wäre in der Tat ein Zirkelschluss) — ist Wittgenstein zu lesen und zu verstehen . Es ist therapeutisch.

Ein anderer Thread (zusätzlich zu einem meiner Favoriten, Fouriers extravaganter Behauptung, dass "jede" [sic] Funktion in trigonometrischen Reihen "ausdrückbar" [sic] sei (übrigens ist die punktweise Konvergenz unter verschiedenen Hypothesen nicht rein zuzuschreiben an Dirichlet, da er ein Manuskript von Fourier gesehen hatte, in dem dieser Beweis vorkam ... aber aus irgendeinem politischen Grund? wurde seine Veröffentlichung mehrere Jahre lang behindert ...) ...

... ist Kroneckers Beschreibung endlicher (daher algebraischer) Körpererweiterungen eines Körpers k als k [ X ] / ⟨ P ⟩ für irreduzible Polynome P . Dies steht im Gegensatz zum früheren Stil des „Glaubens“, dass es einen größeren Bereich gab/gibt, in dem alle Arten von mystischen Zahlen existieren, die wir an die rationalen Zahlen „anhängen“ können usw. Natürlich ist das der Geist. Und eine erste Annäherung. Aber ... warte einen Moment, ist das legitim? :)

Und ähnlich die zahlentheoretische Vorstellung (Dedekind), dass nicht jedes Feld Erweiterungen von Q ist kanonisch eingebettet C . Vielmehr ist das Sammeln solcher Einbettungen Gegenstand des Interesses...

In der Topologie erforderte die Idee, simpliziale Homologie unabhängig von Triangulationen zu berechnen, einige Vorstellungen von "abstrakten" Gruppen und dergleichen, die Jahrzehnte früher keinen Sinn gemacht hätten.

Was hat in den letzten Jahren den Bedarf an echter Analyse und formaler Logik hervorgebracht?
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