Ursprung von Q für die Menge der rationalen Zahlen?

tl;dr

Dedekind war der erste, der 1872 einen Buchstaben (R) für Mengen rationaler Zahlen verwendete, ab 1895 begann Peano, den Buchstaben r (Kleinbuchstaben) zu verwenden, um dieselbe Menge zu bezeichnen (und ab 1889 R für die Menge). positiver Rationalitäten). Andere Autoren schlugen andere Buchstaben vor, und erst in den frühen vierziger Jahren führte Bourbaki den Buchstaben Q ein (nicht die Tafel fett$\mathbb{Q}$). Möglicherweise wurde die fette Tafelversion (vielleicht) Ende der fünfziger oder (wahrscheinlicher) Anfang der sechziger Jahre eingeführt, aber das ist eine andere Frage .

Nun, einige Referenzen.

Dedekind verwendete den Buchstaben R (Großbuchstaben) für die Menge der rationalen Zahlen in Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872),$\S 3$, Seite 16 („die Gerade L ist unendlich viel reicher an Punkt-Individuen, als das Gebiet R der rationalen Zahlen an Zahl-Individuen“, dh „die Gerade L ist unendlich reicher an Punkt-Individuen als der Bereich R der rationalen Zahlen in Anzahl-Individuen", hier die englische Übersetzung).

Über Peano bezieht sich Wikipedia „eindeutig“ irgendwo in den Formulaire de mathématiques/Formulaire Mathématique/Formulario Mathematico , wo Peano tatsächlich ausgiebig Buchstaben verwendete, um Mengen ( classe ) von Zahlen zu bezeichnen. Daran besteht kein Zweifel, da dies das einzige Werk von Peano zum Thema für das Jahr 1895 ist (siehe hier für die vollständige Bibliographie von Peano, die Werke für das Jahr 1895 beginnen auf Seite 45). Das Problem ist, dass (siehe die Wiki-Seite)

die fünf Ausgaben des Formulario [sind keine] Ausgaben im üblichen Sinne des Wortes. Jedes ist im Wesentlichen eine neue Ausarbeitung, obwohl viel Material wiederholt wird. Darüber hinaus variierten Titel und Sprache: Die ersten drei mit dem Titel Formulaire de Mathématiques und die vierte mit dem Titel Formulaire Mathématique waren auf Französisch geschrieben, während Latino sine flexione, Peanos eigene Erfindung, für die fünfte Ausgabe mit dem Titel Formulario Mathematico verwendet wurde . ... Ugo Cassina listet nicht weniger als zwanzig separat veröffentlichte Artikel als Teile des 'vollständigen' Formulario auf!

und darüber hinaus wurde das Formulario von vielen Mitarbeitern von Peano geschrieben, wie Giovanni Vailati, Mario Pieri, Alessandro Padoa, Giovanni Vacca, Vincenzo Vivanti, Gino Fano und Cesare Burali-Forti, wenn man also schreibt "im Formulario sagt Peano..." man muss verstehen, dass man sich eigentlich auf Peano oder einen seiner Mitarbeiter bezieht.

Die folgenden Zitate sind dem 1908 herausgegebenen Formulario Mathematico entnommen , weil es die klarere und vollständigere Darlegung des Themas ist. Das Formulario von 1908 kann man hier lesen , während verschiedene Ausgaben des Formulaire de mathématiques auf Gallica zu finden sind, zum Beispiel hier .

Zuerst schreibt Peano (in I.$\S 1$, natürlich) das Symbol$N_0$, zusammen mit$0$Und$+$als "idea primitivo" [sic], also undefinierte primitive Ideen, die zur Definition aller anderen Symbole der "Arithmetica" verwendet werden und deren Sinn durch ein Satzsystem bestimmt wird, ist die erste:

$\cdot 0\quad N_0\ \varepsilon\ \text{Cls}$

dass er las "$N_0$ist eine Klasse", und so weiter. In II.$\S 5$wir finden$N_1=N_0+1$, So$N_1$die Menge der streng positiven natürlichen Zahlen ist und in II.$\S 6$Er benutzt$+N_0$Und$-N_0$für positive und negative Zahlen und$n$für die Gewerkschaft (sog$n$steht für$\mathbb{Z}$). Dann im III.$\S 8$wir lesen

$\cdot 2 \quad R=N_1/N_1$

Und

$R=$"Numero-Grundsatz". Illo es omni expressione de forma$b/a$, Ubi$a$et$b$es ist numero naturale...

dh,$R$bezeichnet eine rationale Zahl und ist ein beliebiger Ausdruck des for$a/b$Wo$a$Und$b$sind natürliche Zahlen; eindeutig führt auch Peano ein$r=+R\cup -R\cup \iota 0$(III.$\S 9 1\cdot 0$). Außerdem fügt er hinzu

$\cdot 01\quad r=n/N_1$

$r=$Numero rationale relativ

und so$r$steht für$\mathbb{Q}$. Schließlich im III.$\S 12$wir finden

$5\cdot 0\quad Q=l'`[\text{Cls}` R \cap u\ni(\exists u.\exists R=\eta u)])$

die Peano liest

$Q$, lege "quantitate reale positivo" es omni limite supero de aliquo classe$u$de rationale, existente, et tale que existe aliquo rationale maiore de omni$u$

dh,$Q$, die sich als "echte positive Zahlen" liest, ist ein Supremum einer bestehenden Menge (Klasse)$u$von rationalen Zahlen, so dass es eine rationale Zahl gibt, die größer ist als alle Elemente darin$u$; deutlich in III.$\S 13$Peano definiert$q$als$Q\cup -Q\cup \iota 0$, und so$q$steht für unsere$\mathbb{R}$.

In der Formulaire de mathématiques kann man mehr oder weniger die gleichen Dinge lesen (natürlich auf Französisch), insbesondere im Index auf Seite 56 finden wir "$r$nombre rationnel".

Jedenfalls verwendete Peano vor 1895 Buchstaben für Zahlenmengen, siehe Arithmetices principia, nova methodo exposita (1889), die Signorum Tabula auf Seite 13 ("$Q$quantitas, sive numerus realis positivus", dh "$Q$[steht für] Menge, also eine reelle positive Zahl", während$R$wird für positive Begründungen verwendet, kein Symbol für die Begründungen, positiv oder negativ).

Zusammenfassend: Ja, Peano verwendet Buchstaben, um Zahlenklassen zu bezeichnen, aber nein, seine Verwendung unterscheidet sich (tatsächlich gegensätzlich) von der modernen; Darüber hinaus werden Großbuchstaben für Sätze von nur positiven oder nur negativen Zahlen einiger Arten verwendet, während Kleinbuchstaben für entweder positive oder negative Zahlen verwendet werden ($n$für$\mathbb{Z}$,$r$für$\mathbb{Q}$,$q$für$\mathbb{R}$[sieh]).

Außerdem kann ich keine von Wikipedia unabhängige Quelle zur Verwendung von Buchstaben finden$Q$aus dem italienischen "quozente" und darüber hinaus auf Italienisch die Elemente von$Q$werden „frazioni“ (Brüche) oder „numeri razionali“ (rationale Zahlen, vom lateinischen Wort „ratio“) genannt, während „quoziente“ das Ergebnis einer Operation ist. Die Buchstabenauswahl von Peano ist transparent:$n$steht für „numerus“ (ganze Zahl, „numero“ auf Italienisch), „r“ für „(numero) rationale“ (rationale Zahl, aber auch „rapporto“ auf italienisch, ratio auf englisch), „q“ für „quantitas“ (italienisch "quantità", englisch Quantität).

Nun ein paar Worte zu Bourbaki. Ja, "sie" verwendet$Q$für rationale Zahlen, und nein, sie verwenden keine fette Tafel$\mathbb{Q}$(zumindest in den Papieren der 1940er Jahre). Ein frühes Auftreten (vielleicht das früheste auf Papier gedruckte) von$Q$zur Bezeichnung der Menge rationaler Zahlen ist hier auf Seite 3 in Nummer 5 (7.-10. Dezember 1940) von La Tribu , dem internen Newsletter von Bourbaki. Wir lesen

$Q$est ordonné [...] Topologie de$Q$[...] Completion de$Q$: nombres réels

also gibt es hier keinen zweifel$Q$bezieht sich auf unsere$\mathbb{Q}$. Eindeutig, finden wir$Q$für rationale Zahlen im Algèbre von 1942 (ab Seite 29).