Geschichte der Exponentialschreibweise für die Menge von Funktionen zwischen zwei Mengen

Es ist bekannt, dass wenn A Und B Sind zwei Mengen, so ergibt sich die Menge aller Funktionen aus A Zu B kann mit bezeichnet werden B A : Erläuterungen zu dieser speziellen Notation finden sich an vielen Stellen:

https://math.stackexchange.com/questions/901735/meaning-of-a-set-in-the-exponent https://math.stackexchange.com/questions/63960/what-does-it-mean-when -a-set-is-the-exponent https://math.stackexchange.com/questions/709184/why-is-the-exponential-of-sets-the-function-set

Ich frage danach: Wann wurde diese Notation erstmals eingeführt und in welchem ​​Zusammenhang? (Bei dieser Frage geht es also nicht um die Bedeutung oder die Begründung dahinter.)

Das ältere Vorkommen, das ich finden kann, ist in Bourbakis Théorie des ensembles von 1954, ER20, aber ist es das erste?

Ich glaube, dass die Notation in den 1920er und 1930er Jahren von polnischen Mathematikern weit verbreitet war (Kuratowski, Sierpinski usw.), und wahrscheinlich wird ein Scan früher Bände in Fundamenta Mathematica viele Verwendungen vor 1954 geben (sogar Verwendungen vor Bourbaki). Allen vorangestellt ist jedoch die Verwendung in Hausdorffs berühmtem Buch über Mengenlehre und Topologie von 1914 (siehe S. 37 und 40-41). Ich weiß nicht, ob Hausdorff der erste war, der diese Notation verwendete.
Etwas früheres Erscheinen: S. 295-299 (insbesondere S. 295, Artikel 255, Nr. 2) in The Theory of Functions of Real Variables. Band II von James Pierpont (1912). Ich schlage vor, Cantors Papiere durchzusehen (Link in dieser Antwort angegeben ), da sich herausstellt, dass die Notation den ganzen Weg zu ihm zurückgeht.

Antworten (1)

Sie stammt aus Bernsteins Habilitationsschrift Untersuchungen aus der Mengenlehre (1901, erschienen 1905) , wo er auch die heute gebräuchliche Symbolik für die Kardinalarithmetik einführte. Die Exponentialschreibweise wird in §2 wie folgt eingeführt (meine Übersetzung):

„ Wenn M Und N Sind zwei Mengen, nennen wir diejenige Menge, die – im Sinne eines bekannten Ausdrucks – alle Kombinationen von Elementen enthält, aus M zu den Klassen von N , die Macht M N ( M angehoben zu N ). Bezüglich der Anwendung auf Addition, Multiplikation und Potenzklassen von Kommutativ- und Assoziativgesetzen sind sie dieselben wie für endliche Zahlen .

Bernstein verwendet nicht 2 N für das Powerset, aber er schreibt 2 ℵ a , was Mengenkardinalität bedeutet, in §9, wenn die Kontinuumshypothese diskutiert wird.

Vielen Dank. Wenn ich das richtig verstehe, hat Pierpont eine erweiterte (und klarere) Version von Bernsteins Definition gegeben, die sich eher auf Kombinationen oder Verteilungen als auf Funktionen bezieht. In der Tat für Bernstein M ( K für Pierpont) ist nicht einfach eine Menge, sondern eine Menge von (Äquivalenz-)Klassen. Wenn M Und N endlich sind, ist es naheliegend, eine einzelne Verteilung in eine Funktionsform zu übersetzen N Zu M , aber es ist weniger offensichtlich, was eine Verteilung zwischen unendlichen Mengen ist (und vielleicht verwendet Bernstein deshalb nicht 2 N ). Andererseits...
... Ich fand Hausdorffs Definition äußerst klar und absolut identisch mit der des modernen Lehrbuchs mit ihrem expliziten Bezug auf Funktionen. Man kann also vielleicht sagen, dass die Idee (und die Notation) tatsächlich von Bernstein erfunden wurde, aber der Übergang von (konkreten) Verteilungen zu (abstrakten) Funktionen wurde im folgenden Jahrzehnt deutlich gemacht und von Hausdorff auf "moderne" Weise ausgedrückt .
@ user6530 Hausdorff war im Allgemeinen " der erste, der eine Art Erweiterungs-, Mengentheorie-Ansatz verfolgte " ( Kanamori ). Obwohl er von Zermelo und anderen vorweggenommen wurde, wurden vor den Grundzügen der Mengenlehre routinemäßig Erweiterungssätze und Intensionsklassen miteinander vermischt (beachten Sie, wie Bernstein von Machtklassen spricht ) . Ich stimme zu, dass Pierponts Formulierung klarer ist, aber Sie werden wahrscheinlich frühere erläuternde Verbesserungen zu Bernstein in König, Zermelo, Hausdorff selbst usw. finden, CH war ein beliebter Zeitvertreib.
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