Wem werden die reellen Zahlen gutgeschrieben?

Wenn Simon Stevin bereits Ende des 16. Jahrhunderts Pionierarbeit für die unendliche Dezimaldarstellung für jede Zahl (rational, surd usw.) geleistet hat, warum werden Cantor und Dedekind (die sicherlich eine detailliertere Darstellung gegeben haben) routinemäßig die reellen Zahlen zugeschrieben?

Stevin hat einige detaillierte Arbeiten (eher als vage allgemeine Ideen) mit endlosen Dezimalzahlen durchgeführt, einschließlich eines Beweises des Zwischenwertsatzes für Polynome. Newton wurde tatsächlich von unendlichen Dezimalzahlen inspiriert, um seine allgemeine Theorie der Potenzreihen einzuführen.

Ein interessanter Punkt wurde in einer Antwort von Peter Diehr angesprochen. Die sogenannte Archimedische Eigenschaft (die eines der bestimmenden Merkmale des reellen Zahlenkörpers ist; obwohl es natürlich nicht ausreicht, sie zu charakterisieren, da die rationalen Zahlen sie auch erfüllen) wurde von Autoren wie Euklid ( Elemente V.4 ) erheblich berücksichtigt früher. Was jedoch eine tatsächliche Konstruktion (eher als eine axiomatische Definition) angeht, scheint Stevin der Erste gewesen zu sein.

Anmerkung 1. Zur Verdeutlichung hat Stevin eine spezielle Notation für Dezimalzahlen entwickelt (komplizierter als die, die wir heute verwenden) und hat tatsächlich technische Arbeit mit ihnen geleistet, anstatt sich nur ihre Möglichkeit vorzustellen, im Gegensatz zu einigen seiner Vorgänger.

Anmerkung 2. Eine nützliche Quelle dafür ist Malet, Antoni. Zahlen- und Größenvorstellungen der Renaissance . Geschichte Math. 33 (2006), Nr. 1, 63–81.

Anmerkung 3. Wie Malet anmerkt, rechtfertigt „Stevin seine Definition“ nicht, die Zahl und „Menge von irgendetwas“ identifiziert, weil für ihn die Identifizierung offensichtlich ist und die Implementierung von Zahl seine unendlichen Dezimalstellen sind. Dies war in der Tat ein angemessener Schritt, da wir heute wissen, dass das Cantor-Dedekind-Postulat, das den Zahlenstrahl und den Strich im physikalischen Raum identifiziert, auf der Grundlage dessen, was uns die moderne Physik lehrt, unhaltbar ist; ähnliche Bemerkungen gelten für Größe/Menge. Stevin kannte natürlich keine "transzendenten" Zahlen, aber solche Kenntnisse sind nicht erforderlich, um die reellen Zahlen durch unendliche Dezimalzahlen zu definieren; Dies hätte nämlich auch getan werden können, wenn Liouville die Existenz transzendenter Zahlen nicht bewiesen hätte.

Anmerkung 4. Ich sollte klarstellen, dass Stevin sich in seinem Buch l'Arithmetique mit unendlichen Dezimalzahlen befasst hat und nicht mit dem praktisch orientierten De Thiende, das den Schülern beibringen sollte, mit Dezimalzahlen (natürlich endlichen) zu arbeiten.

Anmerkung 5. In Bezug auf die Verwendung des Begriffs „reell“ zur Beschreibung der Zahlen, mit denen Stevin befasst war, sollte klargestellt werden, dass der erste, der die gewöhnlichen Zahlen als reell bezeichnete , möglicherweise Descartes war und dass diese Verwendung auf jeden Fall später als Stevin ist. Wenn wir andererseits über die Darstellung gebräuchlicher Zahlen sprechen (sowohl rational als auch nicht so), spekulierte Stevin nicht nur über die Möglichkeit eines Darstellungsschemas unter Verwendung von Dezimalzahlen, sondern entwickelte (im Gegensatz zu einigen seiner Vorgänger) eine spezifische Notation (wenn auch anders von dem, was wir heute verwenden) und hat außerdem mit dieser Notation gearbeitet.

Anmerkung 6. Cantor dachte, dass die Cauchy-Vollständigkeit (CC) ausreicht, um die reellen Zahlen axiomatisch zu charakterisieren. Heute wissen wir, dass dies nicht der Fall ist, da man auch die archimedische Eigenschaft benötigt. Ich fand kürzlich heraus, dass Dedekind überzeugt war, einen Beweis für die Existenz einer unendlichen Menge zu haben; siehe hier . Deuten diese Missverständnisse von Cantor und Dedekind auf einen Mangel der von ihnen vorgeschlagenen Konstruktionen der reellen Zahlen hin? Kaum. Stevins Ansatz, alle gängigen Zahlen durch unendliche Dezimalzahlen darzustellen, konnte ebenfalls nicht als Fehler angesehen werden, da Stevin bestimmte zukünftige Entwicklungen nicht kannte.

Grundsätzlich gilt für die ersten "vollständigen" (ich meine: konzeptuellen) Theorien (axiomatisch und/oder "konstruktiv") des reellen Zahlensystems, dass die geometrische Intuition vermieden wird, wonach eine reelle Zahl im Grunde die "numerische Darstellung" von a ist Punkt auf der durchgehenden Linie.
@ Mauro, ich bin mir nicht sicher, was das Substantiv des obigen Satzes ist.
@MikhailKatz das Substantiv ist implizit: „Fundamentally, [they get credit] for the first …“
@ Mauro, Stevin brauchte keine geometrischen Intuitionen, um mit unendlichen Dezimalstellen zu arbeiten (obwohl er sicherlich solche Intuitionen hatte wie jeder Mathematiker). Es gibt einige interessante Artikel in der Literatur, die sich mit der Brücke zwischen dem Diskreten und Kontinuierlichen befassen, wie sie von Stevin gebaut wurde.
Nun, wenn wir Fowler glauben, wurden unendliche fortgesetzte Brüche bereits von Pythagoreans projecteuclid.org/euclid.bams/1183544897 erwogen
@Conifold, das muss ich mir mal ansehen, aber deiner Formulierung nach zu urteilen bin ich skeptisch :-) Stevin hat nicht nur über endlose Dezimalzahlen nachgedacht, sondern tatsächlich etwas damit gearbeitet. Er hat einen Vorgänger, der sich das ganze Schema ausgedacht hat, ohne irgendwelche Formeln niederzuschreiben; Dies war ein jüdischer Gelehrter, den ich in einer meiner Arbeiten erwähnte. Sein Name ist mir gerade entfallen. Jedenfalls würde ich ihm die Konstruktion der Realzahlen nicht zuschreiben, aus dem offensichtlichen Grund, dass er dies technisch nicht so entwickelt hat, wie Stevin es getan hat.
Ich habe Bedenken, das moderne Konzept der reellen Zahlen auf Stevins Zeit zu projizieren. Ende des 19. Jahrhunderts gab es eine Reihe von Arbeiten in Analysis, Geometrie und "Arithmetik", die sich dem modernen Kontext anzunähern begannen, Cantor und Dedekind zogen die Fäden mit "rigoroser Konstruktion" zusammen (Weierstraß' frühere Konstruktion war nicht "rigoros genug". "). Es ist ja nicht so, dass im platonischen Himmel echte Zahlen an einem Baum hingen und darauf warteten, gepflückt zu werden, und Stevin kam zuerst an sie heran. Die Stränge, einschließlich "Strenge", waren damals nicht vorhanden, daher ähnelt dies eher Elements II als "geometrische Algebra".
Wie hat Stevin seine Version des Zwischenwertsatzes formuliert?
Denken Sie daran, dass dies vor Vieta war, also hatte Stevin keine Notation außer dem von den Griechen geerbten Werkzeug, nämlich Proportionen A : B :: C : D . Und tatsächlich fährt er fort, einen Kubikanteil als Proportion aufzuschreiben, was sicherlich rätselhaft ist, wenn man nicht weiß, woher das kommt. Die Idee einer „Gleichung“, die wir für selbstverständlich halten, war im Entstehen begriffen. Auf jeden Fall präsentierte er einen vollkommen vernünftigen Teile-und-Herrsche-Algorithmus zum Finden der Wurzel, im Wesentlichen denjenigen, den Cauchy 250 Jahre später reproduzierte. @FranzLemmermeyer
Es wäre großartig, wenn all diese "Notizen" reibungsloser in den Hauptteil des Beitrags integriert würden.

Antworten (5)

Viele Menschen bekommen Anerkennung, weil dies eine lange Geschichte war, die im antiken Griechenland begann. Euklid hat eine Theorie der Proportionen (basierend auf früheren Forschungen), die der modernen Theorie der reellen Zahlen entspricht. Seit dem 17. Jahrhundert wurden nach und nach unendliche Dezimalerweiterungen eingeführt (Napier, Stevin), und die modernen Theorien gehen auf Cantor und Dedekind zurück. Die Entwicklung hat also 2000 Jahre gedauert, und es ist unmöglich, es einer Person zuzuschreiben.

Alexandre, die gesamte Mathematik ist ein organisches Ganzes, daher sollte allen Mathematikern wohl die Anerkennung für die gesamte Mathematik zuteil werden. Darüber hinaus ist es schwierig, Euklid endlose Dezimalstellen zuzuordnen. Stevin hat einige detaillierte Arbeiten mit unendlichen Dezimalstellen durchgeführt, einschließlich eines Beweises des Zwischenwertsatzes für Polynome. Mathematische Äquivalenz ist nicht äquivalent zu historischer Äquivalenz. Soweit Napier betroffen ist, war mir seine Arbeit über unendliche Dezimalzahlen nicht bekannt. Welche Napier meinst du? Soweit ich mich erinnere, waren es zwei. Haben Sie Einzelheiten zu seiner Arbeit an unendlichen Dezimalzahlen?
PS Entschuldigung, ich war verwirrt; Ich dachte an die beiden Mercators. Könnten Sie Napiers Arbeit über unendliche Dezimalzahlen näher erläutern? Das ist sehr interessant.
"Schwierig, Euklid unendliche Dezimalstellen zuzuordnen". Bei der Frage ging es nicht um „unendliche Dezimalzahlen“, sondern um reelle Zahlen. Es gibt verschiedene Darstellungen reeller Zahlen, und „unendliche Dezimalzahlen“ ist nur eine davon. In Bezug auf Napier meine ich John Napier, den Erfinder der Logarithmen, und sein Buch, in dem er diese Erfindung beschreibt.
Solange wir glauben, bin ich entsetzt, entsetzt sage ich Ihnen, dass Eudoxus nicht erwähnt wird. Euklid hat gerade seine Theorie aufgezeichnet, warum bekommt er die ganze Anerkennung! :) Die Proportionstheorie konnte jedoch nur auf bereits konstruierte Verhältnisse angewendet werden, und geometrische Konstruktionen kamen bei weitem nicht in die Nähe moderner Realzahlen oder sogar algebraischer Zahlen.
@Alexandre, für Euklid waren nur 2,3,4, ... Zahlen. Sogar 1 war es nicht; Dies musste von Stevin argumentiert werden, um seine Zeitgenossen zu überzeugen.
@Conifold: In meiner Antwort habe ich nicht "Kredit gegeben". Ich habe nur vorhandene (überlebende) Quellen erwähnt. Und die Quelle für die Theorie der Proportionen ist Euklid.
Der Titel der Frage bezieht sich auf den Kredit, und der Satz vor Euklid beginnt mit "Viele Leute bekommen Kredit", es gibt nichts über vorhandene Quellen in der Post (und ist auch nicht direkt relevant). Die anderen Namen sind zumindest mit einigen inhaltlichen Fortschritten verbunden. Euklid sollte durch Eudoxus ersetzt und „äquivalent zur modernen Theorie der reellen Zahlen“ gestrichen werden.
@Conifold: Die Quelle, die ich erwähne, ist Euclid. Und ich sage, das basiert auf früheren Forschungen. Ich habe Euklid gelesen, und meiner Meinung nach entspricht seine Theorie der modernen. Wenn Sie eine Referenz für Eudoxus-Texte haben, geben Sie diese bitte an. Und wenn Sie mit meiner Antwort nicht einverstanden sind, schreiben Sie einfach Ihre eigene.

Das archimedische Eigentum , wie es genannt wird, wurde von Archimedes als Axiom verwendet, und er schrieb Eudoxus von Cnidus zu, der vor Euklid liegt ; siehe auch das.

In Abschnitt 7: Stevin sagt Malet:

Tatsächlich rechtfertigt Stevin seine erste Definition nicht („Anzahl ist das, woran man die Menge von irgendetwas erkennen kann“)

So scheint es, dass Simon Stevin wie Archimedes davon ausgeht, dass jeder Punkt einer Linie einem Abstand von ihrem Ursprung entspricht; das heißt, Größen entsprechen Punkten der Linie. Die netten mathematischen Unterscheidungen, die im 19. Jahrhundert auftauchten und die Details der reellen Zahlen regelten, sind Stevin nicht wichtig; Wichtig ist, dass die Dezimalschreibweise eine bequeme Methode zum Aufzeichnen dieser Größen bietet.

Seine Arbeit sollte Studenten beibringen, wie man mit Dezimalzahlen arbeitet. Da sogar das Konzept der transzendenten Zahlen erst im 19. Jahrhundert auftaucht, sehe ich nicht, wie irgendeine frühere Arbeit zitiert werden könnte, die sich auf die reellen Zahlen bezieht, außer als Axiom.

Als Referenz: Axiom von Archimedes und Axiom von Archimedes

Peter, der Begriff „archimedisches Eigentum“ wurde 1883 von Otto Stolz eingeführt. Sicherlich sind alle diese bewundernswerten Autoren älter als Stevin, aber Stevin gab etwas an, das als tatsächliche Konstruktion der reellen Zahlen interpretiert werden kann, nämlich in Bezug auf unendliche Dezimalzahlen. Wenn Sie mir eine Konstruktion in Archimedes, Eudoxus oder Euklid zeigen, wäre ich sehr interessiert, aber davon abgesehen scheint Stevin der früheste Autor zu sein, der tatsächlich eine Konstruktion dessen vorgeschlagen hat, was seitdem als oh! reale Nummern :-)
Das OP erwähnte den Bau nicht als Ziel. Dedekind hat sicherlich eine gültige Konstruktion mit Beweisen gegeben. Die Verwendung von Dezimalzahlen, auch wenn sie endlos ist, ist kein konstruktiver Beweis. Und ich habe nicht gesagt, dass Archimedes diesen Begriff verwendet hat; Ich sagte, er benutzte die Eigenschaft als Axiom – eine Aussage, die keines Beweises bedarf. Vielleicht können Sie die Frage bearbeiten, um Ihre Ziele zu verdeutlichen.
Peter, ich stimme sicherlich zu, dass Dedekind eine gültige Konstruktion gegeben hat! Ich muss jedoch der Behauptung widersprechen, dass die Verwendung von unendlichen Dezimalstellen kein konstruktiver Beweis ist. Sicherlich müssen Details ausgefüllt werden, wie das Ende von 9en und die Kohärenz mit arithmetischen Operationen. Die Tatsache, dass unendliche Dezimalzahlen eine gültige Konstruktion der reellen Zahlen liefern, ist jedoch bekannt. Lassen Sie mich hier aufhören, um zu sehen, ob ich Sie richtig verstanden habe, bevor ich weiter ausführe. Sind wir uns soweit einig?
Ich stimme den Schlussfolgerungen zu; und ich schätze Simon Stevin sehr, aber hat er behauptet, dass die Dezimalkonstruktion alle Punkte der geometrischen Linie abdeckt?
Es gibt einen Stevin-Gelehrten, der behauptet, er habe die Verbindung zwischen dem Kontinuierlichen und dem Diskreten hergestellt, im Gegensatz zu dem, was die Leute darüber schreiben, dass dies eine viel spätere Idee sei. Jedenfalls verließ sich Stevin nicht auf geometrische Intuitionen; im Gegenteil, er hatte ein völlig analytisches Verfahren, nämlich das der unendlichen Dezimalstellen, um alle Zahlen zu beschreiben.
Referenz, bitte?
Der Gelehrte, an den ich denke, ist A. Malet. Versuchen Sie, seine Papiere nachzuschlagen. Alternativ kann dies in einigen meiner Artikel über Stevin erwähnt werden. Wenn Sie nichts finden, melden Sie sich bei mir.
Ich warte darauf, von Ihnen zu hören; Diese Referenzen sollten in Ihrem OP enthalten sein.
Ich habe dies dem Hauptteil der Antwort hinzugefügt. Beachten Sie, dass die archimedische Eigenschaft streng genommen nichts mit dieser Frage zu tun hat; Q ist ebenfalls archimedisch und wir gehen davon aus, dass rationale Zusammenhänge wesentlich früher verstanden wurden.
Peter, schreib mir einfach eine E-Mail (siehe meine Seite).
Peter, ich bin verwirrt über deine Kommentare zu transzendenten Zahlen; siehe meine "Anmerkung", die der Frage hinzugefügt wurde .
Mein Punkt ist, dass Simon Stevin nicht wusste, dass seine Konstruktion die reellen Zahlen abbildet; er konnte es nicht wissen, weil die große Mehrheit der reellen Zahlen noch nicht bekannt war, und er hatte keine Möglichkeit, dies zu wissen. Cantors Karte ist eine sehr neue Kreation! Daher das Zitat von Stevin.
Peter, ich habe von dir gehört, was du sagst, aber ich verstehe es immer noch nicht. Warum ist es relevant, dass anschließend neue Typen von reellen Zahlen betrachtet wurden? Wenn zum Beispiel morgen neue superdupertranszendente Zahlen von einem führenden Analytiker eingeführt werden und sich als Schlüssel zur Lösung eines wichtigen Problems herausstellen, würde das bedeuten, dass weder Cantor noch Dedekind richtig wüssten, wovon sie sprachen? Ich kann der Behauptung, dass "Stevin nicht wusste, dass seine Konstruktion den reellen Zahlen entspricht", keine genaue Bedeutung zuordnen. Dies wäre in einem offensichtlichen Sinne wahr, dass er den Begriff "echt" nicht verwendet hat.
Archimedes ging davon aus, dass jeder Punkt einer Geraden einer Größe entspricht – warum glauben Sie also nicht, dass er die wahren Zahlen entdeckt hat? Er entwickelte auch eine Methode, um Zahlen auszudrücken?
Die Bedeutung eines Konzepts hängt von einem verfügbaren Kontext ab. Dezimalzahlen sind eine von n äquivalenten Arten, wie wir heute reelle Zahlen definieren, und die Kenntnis verschiedener Unterarten von ihnen ist ebenfalls Teil ihrer Konzeption. Stevin wusste weder die n-Wege noch die Äquivalenzen und nur wenig darüber, welche Arten von Zahlen Dezimalzahlen abdecken. Eine Definition, die wir heute beweisen können, ist äquivalent zu einer Definition von X ist keine Definition des heutigen X. So wie Cauchy keine Gedanken über (moderne) stetige Funktionen hatte, hatte Stevin keine Gedanken über (moderne) reelle Zahlen. Modernisierungen können nur so weit zurückgerechnet werden.
@Conifold, obwohl klar ist, dass Stevin keine Gedanken über moderne reelle Zahlen hatte, stellte er ein System zu ihrer Darstellung bereit, führte eine Notation ein, um dies auszudrücken, und bestand darauf, dass es dabei keinen Unterschied zwischen rationalen und nicht rationalen Zahlen gibt betrachten. Ich stimme zu, dass Modernisierungen nur so weit zurück projiziert werden können, aber Stevin hat ein System zur Darstellung von Zahlen bereitgestellt und darüber hinaus erfolgreich damit gearbeitet.
@PeterDiehr, ich bin mir nicht sicher, ob Archimedes davon ausgeht, dass jeder Punkt auf einer Linie einer Größe entspricht. Hast du dafür eine Quelle? Malet scheint zu glauben, dass Stevins Idee, die Kluft zwischen diskreter und kontinuierlicher Quantität zu überbrücken, eine Neuheit von Stevin war, für deren Akzeptanz er hart kämpfen musste.
@Mikhail Ich stimme zu, dass Stevin viel mehr Anerkennung für seinen Einfluss auf die moderne Vorstellung von Zahlen verdient, insbesondere für die Verwendung unendlicher Dezimalstellen, um euklidische Mauern zwischen Zahlen, Größenordnungen und Verhältnissen zu durchbrechen. Mein Problem ist die Formulierung: Er hat kein System zur Darstellung reeller Zahlen bereitgestellt, aus dem gleichen Grund, aus dem Euklid keine quadratischen Gleichungen gelöst hat und Eudoxus kein transzendentales Verhältnis entdeckt hat, diese Begriffe waren zu ihrer Zeit nicht verfügbar. Man kann sagen, dass Cantor und Dedekind mit Wohlwollen reelle Zahlen konstruiert haben, aber Stevin scheint eine Brücke zu weit zu sein.
@Conifold, ich hätte angenommen, dass wir jetzt über vorläufige Kommentare hinaus wären :-) Kannst du das genauer sagen? Wie weit zurück wäre es legitim, eine Hypothese in Betracht zu ziehen, dass ein Autor ein System zur Darstellung reeller Zahlen bereitgestellt hat? 17. Jahrhundert? 18. Jahrhundert? Erste Hälfte des 19. Jahrhunderts? Ich nehme an, in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts ist das schon Freiwild?
@Mikhail Wie so oft gibt es keine hellen Linien, und sie müssen auch nicht wirklich beschreiben, wie sich die Geschichte entwickelt hat, moderne Labels sind tangential dazu. Ich würde nach Prototypen verschiedener moderner Ansätze suchen, die artikuliert werden, und ein gemeinsames Gefühl haben, dass sie auf unterschiedliche Weise auf dieselbe Idee abzielen. Wenn dies für reelle Zahlen passiert, ist dies ein verschwommenes Urteil, aber das Ende des 19. ist eindeutig in und das frühe 17. ist eindeutig out.
@Conifold, Sie scheinen Einwände dagegen zu haben, den Begriff "real" zu verwenden, um die Zahlen zu beschreiben, mit denen Stevin befasst war, und insofern stimme ich zu. Ich glaube, der erste, der die gemeinsamen Zahlen als "echt" bezeichnete, war möglicherweise Descartes, und auf jeden Fall ist diese Verwendung später als Stevin. Wenn wir andererseits über die Darstellung "üblicher" Zahlen sprechen (einschließlich rationaler und nicht so), sehe ich nicht, was Ihr Argument dagegen ist, Stevin Anerkennung zu zollen, der nicht nur über die Möglichkeit der Verwendung eines Darstellungsschemas spekulierte Dezimalstellen, ...
...aber eine eigene Notation entwickelt (wenn auch anders als heute) und darüber hinaus mit dieser Notation gearbeitet.
Ich habe nichts dagegen, Stevin Anerkennung zu zollen, aber Anerkennung für was? Es gab nicht nur den Begriff "reelle Zahl", es gab kein solches Konzept, "Stevin konstruierte reelle Zahlen" ist nicht das, was passiert ist, nur in modernen Worten ausgedrückt, es ist "geometrische Algebra". "Stevin hat reelle Zahlen durch Dezimalzahlen dargestellt" ist genauso schlimm, wenn er etwas anderes durch Dezimalzahlen dargestellt hat, was war das genau? Rationale und quadratische Surds? Und wenn es Dezimalzahlen wären, könnten sie sich nicht selbst "repräsentieren". Dies verstärkt nur platonistische Stereotypen, die Mathematiker bei Wesen erreichen, die dort wie Planeten schweben.
@Conifold, ich teile Ihre Meinung, dass solche Stereotypen eine unnötige Hypothese sein könnten, aber wie ich bereits erwähnte, entwickelte Stevin ein angemessenes System zur Darstellung gewöhnlicher Zahlen, einschließlich aller damals verwendeten, ob rational oder nicht. Außerdem funktioniert sein Schema zur Darstellung von Zahlen bekanntlich bei allen sehr gut. Nur wenn man die Geschichte der reellen Analysis als unvermeidlichen Fortschritt in Richtung der gähnenden Höhen der weierstraßschen Epsilontik und der reellen Zahlen von Cantor-Dedekind betrachtet, muss man sich unwohl fühlen, wenn man früher Anerkennung zollt

Ich habe erst vor kurzem begonnen, mich mit dem Thema Geschichte der Mathematik zu befassen, und meine Lektüre beschränkt sich derzeit auf einen einzigen Text; Boyers Geschichte der Mathematik . Laut Boyer und unterstützt durch den Wikipedia-Eintrag für Simon Stevin glaube ich jedoch, dass Ihre Behauptung, dass Stevin sich mit "allen" reellen Zahlen "(rational, surd, etc.)" befasst hat, eine Übertreibung ist.

Zitat Boyer:

Viète, ... , hatte 1579 darauf gedrängt, sexagesimale Brüche durch Dezimalbrüche zu ersetzen. 1585 plädierte der führende Mathematiker der Niederlande, Simon Stevin aus Brügge, noch stärker für die Verwendung von Brüchen im Zehnermaßstab sowie für ganze Zahlen.

Dies scheint kurz vor der Behauptung zu enden, dass Stevins Arbeit konzeptionell alle reellen Zahlen umfasste. Das verlinkte Papier von Malet macht die klare Behauptung, dass Stevin auch (einige) irrationale Zahlen berücksichtigt hat:

Dass „jede beliebige Wurzel Zahl ist“ [Stevin, 1585, 8] ist auch eine Folge der Identifizierung von Zahlen und Maßen

Laut Malet berücksichtigt Stevin also algebraische Zahlen, aber dies endet wiederum mit der Behauptung, dass Stevin im Besitz des korrekten Begriffs "alle reellen Zahlen" war. Mit anderen Worten, obwohl wir jetzt wissen, dass alle reellen Zahlen auf diese Weise dargestellt werden können, ist es nicht klar, dass Stevin sich der wahren und korrekten Natur der reellen Zahlen und ihrer unterschiedlichen Typen bewusst war. Vielleicht liefert dies eine Erklärung dafür, warum Stevin nicht die volle Anerkennung für die echten Zahlen erhält.

Abschließend sei noch erwähnt, dass Boyer feststellt:

Es ist klar, dass Stevin in keiner Weise der Erfinder von Dezimalbrüchen war, noch war er der erste systematische Benutzer von ihnen. Im alten China, im mittelalterlichen Arabien und im Europa der Renaissance findet man mehr als nur zufällige Verwendung von Dezimalbrüchen; Als Viète 1579 offen für Dezimalbrüche eintrat, waren sie von Mathematikern an den Grenzen der Forschung allgemein akzeptiert. Unter den einfachen Leuten und sogar unter mathematischen Praktikern wurden Dezimalbrüche jedoch erst allgemein bekannt, als Stevin es unternahm, das System in allen elementaren Details zu erklären.

Boyer unterscheidet nicht ausreichend zwischen der Verwendung von Dezimalbrüchen „unter gewöhnlichen Leuten“, wie er sie nennt, einerseits und der Betonung unendlicher Dezimalzahlen in Stevin andererseits. Stevin war vielleicht nicht der Erfinder von Dezimalbrüchen. Außerdem hat er sich in seinem berühmtesten Werk De Thiende nicht mit unendlichen Dezimalstellen beschäftigt . In seinem spezialisierteren Werk l'Arithmetique betont er jedoch unendliche Dezimalzahlen und die Idee, dass alle Zahlen auf diese Weise darstellbar sein sollten.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass nichts, was Boyer oder Malet sagen, der Behauptung widerspricht, dass Stevin der erste war, der eine detaillierte technische Darstellung gewöhnlicher Zahlen lieferte und im Gegensatz zu seinen Vorgängern mit einer solchen Darstellung arbeitete, die, wie wir heute wissen, für alle Zahlen funktioniert, auf die wir uns liebevoll beziehen als oh! so echt.
@MikhailKatz Ja, ich verstehe Ihren Standpunkt in Bezug auf "alle Zahlen sollten auf diese Weise darstellbar sein". Aber hat Stevin ein wirkliches Verständnis dafür, was „alles“ im Fall der Realzahlen bedeutet? Es ist eine mögliche Rechtfertigung, wenn auch nicht sehr gut von mir argumentiert.
Nick, Cantor hatte falsche Vorstellungen über die Axiomatisierung der reellen Zahlen. Daher war er der Meinung, dass die Forderung nach Cauchy-Vollständigkeit ausreicht, um das System der reellen Zahlen axiomatisch zu charakterisieren. Wie sich herausstellt, ist dies nicht der Fall, da man auch die archimedische Eigenschaft benötigt. Bedeutet dies in irgendeiner Weise, dass seine Konstruktion der reellen Zahlen mangelhaft war?
@MikhailKatz Das ist ein sehr gutes Argument, und ich glaube, ich verstehe den Punkt, den Sie machen. Leider fehlt meinem mathematischen Wissen die nötige Tiefe, um Ihrem Argument einen sinnvollen Weg zu finden, sofern ein solches Gegenargument existiert. Tatsächlich bin ich mir ziemlich sicher, dass es im Fall von Cantor keinen solchen Zähler gibt.
@MikhailKatz Dies ist das erste Mal, dass ich ein Kopfgeld erhalten habe, es sei denn, Sie zählen die Zeit, in der meine Mutter mir zwei Schokoladenkekse gab, weil ich ihren Verlobungsring zwischen einigen gebrauchten Kaffeebohnen im Mülleimer gefunden hatte. Ahhh, das waren noch Zeiten. Sind Sie sicher, dass Sie keinen Fehler gemacht haben? Hoffentlich nicht.
"... es ist nicht klar, ob Stevin sich der wahren und korrekten Natur der reellen Zahlen und ihrer unterschiedlichen Typen bewusst war." Mir ist nicht klar, dass sich jemals jemand "der wahren und korrekten Natur der reellen Zahlen bewusst war" oder jemals sein wird, oder eigentlich, was das überhaupt bedeuten würde.
@TorstenSchoeneberg Ausgezeichneter Punkt. Es gibt immer noch viele Debatten über die Natur des Kontinuums.

Dem Menschen als Kollektiv wird in einem berühmten Zitat zugeschrieben: „Gott hat die ganzen Zahlen gemacht; alles andere ist Menschenwerk“ (oder „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk “). Das Zitat wird oft Leopold Kronecker zugeschrieben, siehe etwa "Philosophies of Mathematics", S. 13, Alexander George, Daniel J. Velleman, 2001. Anscheinend ist die Echtheit des Zitats umstritten.

Dieses Buch schreibt auch Dedekind zu:

Besonders hervorzuheben ist in diesem Zusammenhang die vor allem dem deutschen Mathematiker Richard Dedekind (1831-1916) zu verdankende Leistung, die ganzen, rationalen und reellen Zahlen zu definieren, wobei nur das System der natürlichen Zahlen als selbstverständlich angesehen wird.

Von meiner Ausbildung her war der Dedekind-Schnitt mit westlicher Note eine Konstruktion reeller Zahlen, die es mir ermöglichte, ein sofortiges (möglicherweise fehlerhaftes) inneres Bild von reellen Zahlen zu bekommen, basierend auf (natürlichen) Rationalen, die ich vorher nicht begriffen hatte (mit unendlichen Zahlen). Dezimaldarstellung). Ich habe davon gelernt, als ich rationale (diophantische) Näherungen von Polynomwurzeln im reellen Körper und in endlichen Körpern (Folgebrüchen) untersuchte.

In der Wissenschaftsgeschichte ist die Person, die Credits erhält, nicht immer die erste. Im Westen bekommt C. Columbus oft Anerkennung dafür, dass er Amerika entdeckt hat, was wahrscheinlich unfair ist. Sollte die erste, die beweist, dass es mindestens eine irrationale Zahl gibt, auch gutgeschrieben werden?

Ich beginne (nach Ihren Kommentaren) zu glauben, dass die Antworten von "was für reellen Zahlen?" abhängen, mit anderen Worten, von welcher Struktur? Als Punkte auf einer Geraden, als Figurenfolge, als Ring- oder Feldstruktur, als Vektorraum oder Algebra, als "Sinn" von Kontinuität?

Nach meinem Wissen aus zweiter Hand sagen einige, dass arabische/muslimische (im weitesten Sinne) Mathematiker die ersten waren, die irrationale Zahlen als algebraische Objekte (möglicherweise nur Surds) behandelten, und indische trigonometrische Reihen entwickelten ( Ideas of Calculus in Islam and India , Katze, 1995). Und als ich zum ersten Mal von (einer Instanz) der Hamel-Basis hörte ,

eine Basis für die reellen Zahlen \mathbb{R} als Vektorraum über dem Körper \mathbb{Q} der rationalen Zahlen

Ich verstand, dass mein Niveau in Mathematik zu gering war, um zu verstehen, was reelle Zahlen wirklich waren. Da Heron von Alexandria manchmal die erste (westliche) Vorstellung von imaginären Zahlen zugeschrieben wird, können wir erwarten, dass die realen Zahlen nach dem Komplex entdeckt wurden?

Tatsächlich wird dieses Zitat fälschlicherweise Kronecker direkt zugeschrieben. Ein Kollege seines Namens Weber behauptete nach Kroneckers Tod, Kronecker habe dies gesagt. Daran habe ich große Zweifel, weil Kronecker den Begriff „Integer“ nicht verwendet hätte. Er war fast so misstrauisch gegenüber den negativen Zahlen wie gegenüber den transzendenten Zahlen. Darüber hinaus schrieb er ausdrücklich, dass die Zahlen eine Schöpfung des menschlichen Geistes sind.
Ich bin mir nicht sicher, was Sie über Dedekind sagen wollen. Jeder weiß, dass er eine detaillierte Konstruktion der reellen Zahlen entwickelt hat. Was ich behaupte, ist, dass es in der Literatur beträchtlich vor seiner eine ziemlich adäquate Konstruktion gab. Cauchy stützte sich auf unendliche Dezimalzahlen, ohne die Notwendigkeit zu haben, eine alternative abstrakte Konstruktion davon anzugeben.
Hawking stützte sich tatsächlich auf fehlerhafte Informationen über Kronecker, als er einen Titel für sein (Hawkings) Buch wählte.
@Mikhail Katz Vielen Dank für das Feedback. Da ich nur ein Amateur in der Geschichte der Mathematik bin, tat ich mein Bestes, um unklare und fehlerhafte Punkte zu klären
Die Vorstellung, Kronecker habe Vorbehalte gegen negative Zahlen, wird beim Lesen seiner Werke schnell lächerlich.
@FranzLemmermeyer, liest du Kronecker selbst oder moderne Präsentationen seiner Arbeit? Für Kroneckers eigene Position können Sie hier die schöne Studie von Bonifatius und Schappacher konsultieren .

Die Geschichte des Dezimalpunkts ist viel älter als Simon Stevin.

Laut Joseph Needham und Lam Lay Yong wurden Dezimalbrüche erstmals im 1. Jahrhundert v. Chr. Von den Chinesen entwickelt und verwendet. Aber das älteste chinesische Buch, das ein Dezimalzeichen-Äquivalent einführt, stammt aus dem dreizehnten Jahrhundert.

Um die Mitte des zehnten Jahrhunderts schrieb Al-Uqlidisi „Kitab al-fusul fi al-hisab al-Hindi“ (Kapitelbuch der indischen Arithmetik), das das früheste erhaltene Buch ist, das das indische System darstellt. (Überlebt in einer Kopie des Originals aus dem Jahr 1157).

Im vierten Teil dieses Buches zeigte Al-Uqlidisi, wie man die Berechnungsmethoden mit indischen Symbolen, die eine Staubplatte erforderten, zu Methoden modifizierte, die mit Stift und Papier durchgeführt werden konnten. Dieses Erfordernis einer Staubplatte war ein Hindernis für die Akzeptanz des indischen Systems.

Al-Uqlidisis Buch ist auch historisch wichtig, da es der früheste bekannte Text ist, der eine direkte Behandlung von Dezimalbrüchen bietet. Al-Uqlidisi verwendete einen Dezimalstrich über der ersten Ziffer des Bruchteils der Dezimalzahl. (Sehr einfach im Vergleich zu Stevins Notation. Aber ähnlich dem Dezimalpunkt, der von Bartholomaeus Pitiscus verwendet wird).

Während der persische Mathematiker Jamshīd Al-Kāshī behauptete, Dezimalbrüche im 15. Jahrhundert selbst entdeckt zu haben, bemerkt J. Lennart Berggrenn, dass er sich geirrt hatte, da Dezimalbrüche bereits fünf Jahrhunderte vor ihm von Al-Uqlidisi bereits im 10. Jahrhundert verwendet wurden .

Rashed relativiert Al-Kashis wichtigen Beitrag. Er zeigt, dass die wichtigsten Fortschritte von Al-Kashi sind:

(1) Die Analogie zwischen beiden Bruchsystemen; das Sexagesimal- und das Dezimalsystem.

(2) Die Verwendung von Dezimalbrüchen nicht mehr zur Annäherung an algebraische reelle Zahlen, sondern für reelle Zahlen wie π.

(Leider darf ich nicht mehr als zwei Links posten.)

http://vedicsciences.net/articles/history-of-numbers-part-2.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Al-Uqlidisi.html

All dies ist irrelevant, da es keine Beweise dafür gibt, dass eine dieser Quellen beabsichtigt, so etwas wie unendliche Dezimalzahlen zu verwenden.
In seiner Studie der Hydrostatik De Beghinselen des Waterwichts von 1586 verwendete Stevin das, was er „Beweis durch Zahlen“ nannte. Dieser Ansatz ähnelt einer Grenze, obwohl Stevin nicht die allgemeine Definition dieses Konzepts hatte, und es scheint, dass er glaubte eigentlich nicht an unendliche Prozesse. Er sagte, dass er den altgriechischen Ansatz bevorzuge und dass seine Methode nur eine Veranschaulichung seiner Ergebnisse sei, kein Beweis. Nichtsdestotrotz trug Stevins Arbeit dazu bei, die Idee der Grenzen zu fördern,
Wem werden die reellen Zahlen gutgeschrieben?
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