Wie lautet die korrekte Aussage von Cauchys falschem Stetigkeitssatz?

Ich habe kürzlich gelesen, dass Cours einen berühmten oder vielleicht berüchtigten Fehler enthält, indem Cauchy ein falsches Ergebnis in Bezug auf Folgen stetiger Funktionen feststellt und beweist. ( Kontinuierliche Funktion bedeutet hier offensichtlich kontinuierlich nach Cauchys intuitiver Definition der Kontinuität und seinem Begriff des Kontinuums zusammen mit Cauchys Funktionskonzept.)

Es scheint widersprüchliche Berichte darüber zu geben, was Cauchy tatsächlich als Theorem angegeben hat.

Einige interpretieren das Ergebnis so, dass die punktweise Grenze einer Folge stetiger Funktionen eine stetige Funktion ist. Nennen wir dies die "Limit-Interpretation":$f(x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}(x)$.

Andere sagen, nein, nein, nein – Cauchy spricht von der Reihe, deren Terme eine Folge von Funktionen sind, und dass das Ergebnis so interpretiert nach Cauchys eigener Definition von Stetigkeit viel „plausibler“ ist – plausibler in dem Sinne Gegenbeispiele sind nicht ganz trivial. Nennen wir das die „Serieninterpretation“:$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$.

Eine neuere Übersetzung (siehe TL/DR unten) legt nahe, dass die Reiheninterpretation korrekt ist, es ist jedoch nicht klar, ob diese Übersetzung eine Aussage von Cauchys ursprünglichem Theorem von 1821 oder eine Aussage seiner Klarstellung von 1853 ist.

Frage: Was ist nach Cauchys Begriff der Funktion und des Kontinuums die korrekte Interpretation von Cauchys ursprünglichem Theorem von 1821 und seiner nachfolgenden Klarstellung von 1853?

TL/DR

Wikipedia gibt nur die Grenzinterpretation an und verweist auf „einige“ Historiker und „angebliche“ Gegenbeispiele. Der Wikipedia-Artikel über einheitliche Konvergenz besagt:

Einige Historiker behaupten, Augustin Louis Cauchy habe 1921 eine falsche Aussage veröffentlicht, aber mit einem angeblichen Beweis, dass der punktweise Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen immer stetig ist ; Lakotos bietet jedoch eine Neubewertung von Cauchys Ansatz an. Niels Henrik Abel fand 1826 angebliche Gegenbeispiele zu dieser Aussage im Zusammenhang mit Fourier-Reihen und argumentierte, dass Cauchys Beweis falsch sein müsse. Cauchy antwortete schließlich 1853 mit einer Klarstellung seiner Formulierung von 1821.

Hier auf HSM wird die Grenzwertinterpretation auch in der Frage angenommen, warum die Mathematiker das nicht gesehen haben$f_n(x) = x^n$ist ein Gegenbeispiel zu Cauchys „Satz“ über Grenzwerte stetiger Funktionen , der mit dem Satz „Cauchy behauptete 1821, dass der Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen stetig ist“ beginnt.

Zur Reiheninterpretation siehe beispielsweise den Blogbeitrag des HSM-Benutzers MJD Cauchy und das Kontinuum

Die Verwirrung um den umstrittenen Satz von Cauchy ergibt sich aus einem ständig verwirrenden Stück mathematischer Terminologie: Eine konvergente Folge ist überhaupt nicht dasselbe wie eine konvergente Reihe . Cauchy behauptete, dass eine konvergente Reihe stetiger Funktionen einen stetigen Grenzwert habe. Er hat nie behauptet, dass eine konvergente Folge stetiger Funktionen einen stetigen Grenzwert hat. Aber ich bin oft auf Behauptungen gestoßen, dass er das getan hat, obwohl solche Behauptungen äußerst unglaubwürdig sind.

Cauchys Worte laut einer neueren Übersetzung

Ich glaube, dass das fragliche Theorem als Theorem 1 auf Seite 90 von Bradley und Sandifers Cauchy's Cours d'analyse An Annotated Translation , Springer 2009, angegeben ist :

THEOREM 1 – Wenn die verschiedenen Terme der Reihe (1) Funktionen derselben Variablen x sind, stetig in Bezug auf diese Variable in der Nähe eines bestimmten Werts, für den die Reihe konvergiert, ist die Summe s der Reihe ebenfalls eine stetige Funktion von x in der Nähe dieses bestimmten Werts.

Wie die Anmerkung (1) andeutet, ist es wichtig, genau zu überlegen, was Cauchy mit Reihen und konvergenten Reihen gemeint hat . Gemäß der Übersetzung von Bradley und Sandifer verwendet Cauchy die folgenden Definitionen:

Wir nennen eine Reihe eine unbestimmte Folge von Größen,

$$u_0, u_1, u_2, u_3, \dots ,$$ die nach einem bestimmten Gesetz aufeinander folgen. Diese Größen selbst sind die verschiedenen Terme der betrachteten Reihe. Lassen $$s_n = u_0 + u_1 + u_2 + \dots + u_{n-1}$$ sei die Summe der ersten n Terme, wobei n eine beliebige ganze Zahl sein kann. Wenn für immer größer werdende Werte von n die Summe $s_n$sich auf unbestimmte Zeit einem bestimmten Grenzwert s nähert , heißt die Reihe konvergent und der fragliche Grenzwert heißt Summe der Reihen.

Cauchy scheint also den Begriff Reihe zu verwenden, um das zu beschreiben, was wir heute eine Folge nennen . Wenn es jedoch um eine konvergente Reihe geht , spricht Cauchy nicht von dem, was wir heute eine konvergente Folge nennen. Vielmehr verwendet er den Begriff im modernen Sinne einer konvergenten Reihe – wenn auch mit einer anderen zugrunde liegenden Vorstellung von Funktion und Kontinuum.

Dies deutet darauf hin, dass unsere "Serien"-Interpretation die richtige Interpretation ist. Wie oben angemerkt, ist jedoch nicht klar, ob diese Übersetzung das ursprüngliche Theorem von 1821 oder die Klarstellung von 1853 angibt.