Gibt es nichtäquivalente Kardinalarithmetik?

‎Ein Konzept in der Mathematik zu verallgemeinern ist immer eine problematische Situation. In den meisten Fällen gibt es mehrere Möglichkeiten, einen Begriff zu verallgemeinern, und es ist nicht einfach zu entscheiden, ob eine bestimmte Verallgemeinerung natürlicher , nützlicher oder besser ist als die anderen Alternativen.

Die gleiche Situation tritt in der Mengenlehre auf, wenn wir versuchen, die arithmetischen Operatoren auf unendlich zu verallgemeinern. Der Fall der Ordinalarithmetik ist weniger umstritten, da er eine einfache rekursive Definition hat, die für alle üblichen und Hyperoperatoren gilt. Aber im Fall der Kardinalarithmetik haben wir alle Additions-, Multiplikations- und Potenzierungsfälle separat wie folgt definiert:

• $\kappa+\lambda$ist die Größe der disjunkten Vereinigung zweier Mengen mit$\kappa$Und$\lambda$Elemente .

• $\kappa.\lambda$ist die Größe des kartesischen Produkts zweier Mengen mit$\kappa$Und$\lambda$Elemente .

• $\kappa^\lambda$ist die Größe der Menge aller Funktionen aus einer Menge mit$\lambda$Elemente zu einer Menge mit$\kappa$Elemente.

Wir haben jeweils eine kombinatorische Eigenschaft isoliert und unseren arithmetischen Operator als Größe einer aus Parametern definierbaren Menge definiert$\kappa$Und$\lambda$. Es ist klar, dass diese Methode zum Verallgemeinern von Operatoren auf viele verschiedene Arten durchgeführt werden könnte , und einige von ihnen könnten nicht äquivalent sein . Zum Beispiel in der endlichen Kombinatorik$m+n$könnte eher die Größe vieler verschiedener definierbarer Mengen als eine disjunkte Vereinigung sein, und diese definierbaren Begriffe könnten bei unendlichen Kardinalzahlen unterschiedlich sein.

Beachten Sie, dass gemäß der üblichen Definition unserer Kardinalarithmetik, die seit Beginn der Mengenlehre unverändert geblieben ist, die ersten beiden Operatoren (Addition und Multiplikation) kontraintuitiv gleich und so trivial wie der Maximumoperator wurden. Auch sie werden vollständig innerhalb von ZFC bestimmt. Andererseits wurde der dritte Operator (Potenzierung) selbst im einfachsten Fall höchst nicht trivial und völlig unbestimmt. dh ZFC kann nicht über den Wert von entscheiden$\aleph_0^{\aleph_0}$.

Warum besteht eine so große Lücke zwischen kardinaler Potenzierung und kardinaler Addition und Multiplikation? Warum sind Addition und Multiplikation kontraintuitiv gleich? Gibt es bessere Arithmetik für Kardinalzahlen, die ein natürlicheres Verhalten , eine reichhaltigere Theorie und eine tiefe Verbindung zueinander haben?

Lassen Sie uns die obigen Fragen genauer untersuchen, indem wir alle möglichen Definitionen für arithmetische Operatoren über Kardinalzahlen betrachten.

Definition 1: Let$*:\omega\times\omega\rightarrow\omega$sei ein arithmetischer Operator (dh gewöhnliche Addition, Multiplikation, Potenzierung, Tetration, ... über natürliche Zahlen), die Formel erster Ordnung$\phi (x,y,z)$in der Sprache der Mengenlehre heißt a$*$- Begriff über Kardinalzahlen (zB Additionsbegriff über Kardinalzahlen, Multiplikationsbegriff über Kardinalzahlen usw.) genau dann, wenn

$(a)~~ZFC\vdash \forall \kappa,\lambda\in Card~~~~~\{x~|~\phi (x,\kappa,\lambda)\}$Ist ein Satz.

$(b)~~ZFC\vdash \forall m,n\in\omega~~~~~| \{x~|~\phi (x,m,n)\} |=m*n$

Verbunden mit irgendwelchen$*$- Vorstellung$\phi (x,y,z)$über Kardinalzahlen kann man einen Operator definieren$*_{\phi}:Card\times Card\rightarrow Card$folgendermaßen:

$\forall\kappa,\lambda\in Card~~~~~\kappa *_{\phi}\lambda :=|\{x~|~\phi (x,\kappa,\lambda)\}|$

Beachten Sie, dass nach Eigenschaft$(a)$, der Betreiber$*_{\phi}$ist wohldefiniert. Auch nach Eigenschaft$(b)$es ist eine Verallgemeinerung des arithmetischen Operators$*$zu unendlichen Kardinälen.

Beispiel: Wenn$+:\omega\times\omega\rightarrow\omega$Die gewöhnliche Addition natürlicher Zahlen ist dann die Formel erster Ordnung$\phi (x,y,z):\exists s\in y~\exists t\in z~~~x=\langle s,0 \rangle \vee x=\langle t,1\rangle$behaupten, dass „$x$ist ein Mitglied der disjunkten Vereinigung$y$Und$z$" ist ein$+$- Begriff über Kardinalzahlen und den entsprechenden Operator$+_{\phi}:Card\times Card\rightarrow Card$ist die übliche Addition von Kardinälen.

Definition 2: Wenn$*:\omega\times\omega\rightarrow\omega$ist ein arithmetischer Operator und$\phi (x,y,z), \psi (x,y,z)$sind zwei$*$- Vorstellungen über Kardinäle, nennen wir$\phi, \psi$ Äquivalent ,$\phi \sim \psi$, wenn und nur wenn ihre entsprechende Kardinalarithmetik gleich ist. dh

Frage 1: Gibt es einen Additionsbegriff für Kardinalzahlen, der nicht dem üblichen Additionsbegriff von Kardinalzahlen entspricht? Wenn ja, wie viele solcher Additionsbegriffe gibt es bis zu$\sim$Äquivalenzbeziehung? Mit anderen Worten, gibt es eine Formel$\phi (x,y,z)$so dass:

$ZFC\vdash \forall \kappa,\lambda\in Card~~~~~\{x~|~\phi (x,\kappa,\lambda)\}$Ist ein Satz

$ZFC\vdash \forall m,n\in\omega~~~~~| \{x~|~\phi (x,m,n)\} |=m+n$

$ZFC\nvdash \forall\kappa,\lambda\in Card~~~~~\kappa *_{\phi}\lambda = \kappa +\lambda$

Was ist mit Multiplikation und Potenzierung? Gibt es insbesondere einen Potenzierungsbegriff über Kardinalzahlen, dessen Wert im einfachsten Fall$\aleph_0$, bleibt unbestimmt, selbst wenn wir eine vollständige Kenntnis der Werte der üblichen Kardinalpotenzierung haben, indem wir GCH annehmen? Genau, gibt es eine Formel$\phi (x,y,z)$in der Sprache der Mengenlehre so, dass:

$ZFC\vdash \forall \kappa,\lambda\in Card~~~~~\{x~|~\phi (x,\kappa,\lambda)\}$Ist ein Satz

$ZFC\vdash \forall m,n\in\omega~~~~~| \{x~|~\phi (x,m,n)\} |=m^n$

$ZFC+GCH\nvdash \aleph_0 *_{\phi} \aleph_0=\aleph_0^{\aleph_0}$(äquivalent$ZFC+GCH\nvdash | \{x~|~\phi (x,\aleph_0,\aleph_0)\} |=\aleph_1$)

Neben dem netten Verhalten jedes einzelnen arithmetischen Operators gegenüber Kardinalzahlen ist es wichtig, die relative Situation dieser Operatoren zueinander zu berücksichtigen. Tatsächlich sollten wir nach einer Folge von Verallgemeinerungen für Addition, Multiplikation, Potenzierung, ... auf Kardinalzahlen suchen, die einige nette Eigenschaften erfüllt.

Definition 3: Let$\{*^i\}_{i\in \omega}$sei die natürliche Aufzählung aller arithmetischen Operatoren auf natürlichen Zahlen (d.h$*^0$,$*^1$,$*^2$,$*^3$sind Addition, Multiplikation, Potenzierung bzw. Tetraation.) und$\{\phi_{i}(x,y,z)\}_{i\in\omega}$ist eine Folge von Formeln, so dass$\forall i\in\omega~~~\phi_{i}(x,y,z)$ist ein$*^i$- Vorstellung. Betrachten Sie nun die Reihenfolge$\{*^{i}_{\phi_{i}}\}_{i\in\omega}$von arithmetischen Begriffen über Kardinalzahlen.

• Wir nennen die Folge$\{*^{i}_{\phi_{i}}\}_{i\in\omega}$ natürlich iff

zB Jede Folge der Kardinalarithmetik, die die übliche Addition (oder Multiplikation) unendlicher Kardinalzahlen enthält, ist nicht natürlich, weil für alle unendliche Kardinalzahlen$\kappa, \lambda$wir haben$\kappa +\lambda = \kappa$oder$\kappa +\lambda = \kappa$.

• Zwei Sequenzen$\{*^{i}_{\phi_{i}}\}_{i\in\omega}$Und$\{*^{i}_{\psi_{i}}\}_{i\in\omega}$sind gleichwertig,$\{*^{i}_{\phi_{i}}\}_{i\in\omega}\sim\{*^{i}_{\psi_{i}}\}_{i\in\omega}$, iff $$\forall i\in\omega~~~~~\phi_i\sim\psi_i$$

Frage 2: Wie viele natürliche Folgen der Kardinalarithmetik gibt es bis zur in Definition 3 definierten Äquivalenzrelation?

Frage 3: Welche anderen Eigenschaften können wir zu „ natürlich sein “ hinzufügen , um eine eindeutige Folge von Kardinalarithmetik bis hin zur Äquivalenz zu erhalten? Könnte eine so einzigartige Folge mit schönen Eigenschaften unsere Standard- Kardinalarithmetik sein?