Ist die Arithmetik, die die meisten Mathematiker verwenden, eine innerhalb erster oder zweiter Ordnung modellierte Logik?

Ich habe oft gelesen, dass Arithmetik in Logik erster Ordnung Probleme hat und Sie es unbedingt in Logik zweiter Ordnung machen möchten.

Aber sind die Zermelo-Fraenkel-Axiome nicht in der Sprache der Logik erster Ordnung niedergeschrieben?

Ja, aber die meisten Mathematiker prüfen nicht, ob das, was sie tun, in ZF formalisiert werden kann.
@NickKidman: Was einige Probleme der Logik erster Ordnung nennen könnten, nenne ich lieber Features , in der Tat nützliche Features.
@Andre: Hast du den bekannten High-Tech-Slogan " It's not a Bug, It's a Feature! " entwickelt? :-)
@AsafKaragila: Warum Pionierarbeit leisten, wenn man stehlen kann?

Antworten (1)

Beachten Sie, dass ZFC eine Theorie ist, die stark genug ist, um Arithmetik zweiter Ordnung zu beweisen. Wenn Sie also damit einverstanden sind, ZFC als Grundlage zu nehmen, sollte die Verwendung von PA zweiter Ordnung für Arithmetik keine Probleme bereiten.

Dies ist einer der Gründe, warum die Mengenlehre eine gute Grundlage für die Mathematik ist, da sie es ermöglicht, dass zweite Ordnung (und höher) über Formeln erster Ordnung im Universum der Mengenlehre funktioniert.

Weiterlesen:

  1. Vorteil der Logik erster Ordnung gegenüber der Logik zweiter Ordnung ?
  2. Was ist die Beziehung zwischen ZFC und Logik erster Ordnung?
  3. Logik erster Ordnung vs. Logik zweiter Ordnung
Danke, interessante Lektüre. Ich finde die "Theorie zweiter Ordnung ausgearbeitet in Theorie erster Ordnung" jedoch immer noch mysteriös. Es scheint, dass das einzige, was man wirklich verliert, wenn man die Alternative erster Ordnung in Betracht zieht, die Bestimmung der Interpretation oder so etwas ist. Dann fällt es mir schwer zu verstehen, warum man sagen könnte: "Wir kennen die Aussage in dieser Theorie - also kennen wir sie in der anderen": Zwei Aussagen in zwei verschiedenen Theorien (die sich in gewisser Weise unterscheiden) miteinander zu identifizieren, klingt faul für mich. Könnte aber eine philosophische Sache sein.
Ist die Arithmetik, die die meisten Mathematiker verwenden, eine innerhalb erster oder zweiter Ordnung modellierte Logik?
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